定理証明済み

全確率の定理

内容

$B_1, B_2, \ldots, B_n$ を標本空間 $\Omega$ の分割とする。すなわち、 $i \neq j$ に対して $B_i \cap B_j = \varnothing$ であり、 $B_1 \cup B_2 \cup \cdots \cup B_n = \Omega$ であり、すべての $i$ について $P(B_i) > 0$ であるとする。このとき任意の事象 $A$ に対して、 $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$ が成り立つ。

なぜ正しいのか?

$B_i$ が $\Omega$ を分割するため、事象 $A$ は自動的に $n$ 個の互いに素な部分に分けられ、各部分はそれぞれ1つの $B_i$ の内側にある。乗法の法則で表した各部分の確率を足し合わせると、二重に数えたり見落としたりすることなく $P(A)$ の全体が得られる。

証明の概略

第1段階( $B_i$ を用いて $A$ を分割する):各 $i = 1, \ldots, n$ について $A_i = A \cap B_i$ と定める。 $B_i$ は互いに素なので $A_i$ も互いに素であり、 $B_1 \cup \cdots \cup B_n = \Omega \supseteq A$ なので、 $A$ の各根元事象はちょうど1つの $A_i$ に属し、 $A = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$ が互いに素な和集合として成り立つ。

第2段階(互いに素な部分の確率を足す):確率は互いに素な事象について加法性を持つので、 $P(A) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots + P(A_n) = \sum_{i=1}^{n} P(A \cap B_i)$ である。

第3段階(乗法の法則で各項を書き換える):各 $i$ について、乗法の法則より $P(A \cap B_i) = P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$ が成り立ち、 $P(B_i) > 0$ なのでこれは well-defined である。

第4段階(代入する):第2段階のすべての $P(A \cap B_i)$ を $P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$ に置き換えると、主張どおり $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$ が得られる。

この定理を使うトピック

条件付き確率とベイズの定理

ステップごとの証明

この定理のステップごとの証明はまだありません。