シルベスター=ガライの定理(ケリーの最小距離による証明)

ステップ1(極値による選択の設定)。 $P$ を、すべてが同一直線上にはない $n \ge 3$ 個の点からなる与えられた有限集合とする。$\ell$ が $P$ の少なくとも $2$ 個の点を通る直線であり、$Q \in P$ が $\ell$ 上にない点であるような組 $(Q, \ell)$ からなる有限集合を考える。この集合は($P$ がすべて同一直線上にはないため)空でなく、有限であるから、極値原理により、点から直線までの距離 $d(Q_0, \ell_0)$ を最小にする組 $(Q_0, \ell_0)$ を選ぶことができる。

ステップ2(矛盾の仮定)。 矛盾を導くために、$\ell_0$ が $P$ の点を $3$ 個以上含むと仮定する。$F$ を $Q_0$ から $\ell_0$ への垂線の足とする。$\ell_0$ 上には $P$ の点が $\ge 3$ 個あり、それらは $F$ から $\ell_0$ に沿って伸びる高々 $2$ 本の半直線上にあるので、鳩の巣原理により、そのうち2点 $B$ と $C$ が同じ半直線上にあり、$B$ が $F$ と $C$ の間にある($B = F$ の場合も含む)ようにできる。

ステップ3(相似三角形によるより近い組の構成)。 $B$ から直線 $Q_0C$ へ垂線を下ろし、その足を $G$ とする。直角三角形 $\triangle BGC$ と $\triangle Q_0FC$ は $C$ における角を共有するので相似であり、$\dfrac{BG}{Q_0F} = \dfrac{BC}{Q_0C}$ が成り立つ。$B$ が $F$ と $C$ の間にあるので $BC \le FC$ であり、$\triangle Q_0FC$ は $F$ で直角なので斜辺について $FC < Q_0C$ が成り立つ。これらを合わせると $BC < Q_0C$ となり、したがって $BG < Q_0F = d(Q_0, \ell_0)$ を得る。

ステップ4(矛盾)。 直線 $Q_0C$ は $P$ の $2$ 個の点(すなわち $Q_0$ と $C$)を通り、$B$ はその上にない $P$ の点であるから、$(B, Q_0C)$ は有限集合の中の有効な組であり、$d(B, Q_0C) = BG < d(Q_0, \ell_0)$ を満たす。これは $(Q_0, \ell_0)$ の最小性に矛盾する。

ステップ5(結論)。 この矛盾により $\ell_0$ は $P$ の点を $3$ 個以上含むことはできない。少なくとも $2$ 個を含むように選ばれていたので、ちょうど $2$ 個を含み、$\ell_0$ が求める通常直線である。