米田の補題

内容

$\mathcal{C}$ を局所小圏、$A$ を $\mathcal{C}$ の対象、$F:\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ を関手とする。このとき、自然な全単射 $\mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(-,A),\,F)\cong F(A)$ が $A$ と $F$ の両方について成り立つ。特に、米田埋め込み $A\mapsto \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(-,A)$ は忠実充満関手である。

なぜ正しいのか?

対象は、圏内の他のすべての対象からその対象へ向かう矢の網によって、同型を除いて完全に決定される ― 対象の「内部」を見る必要は一切なく、他のすべてとどのように関係しているかだけを見ればよい。

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