MathLabs

Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, nêu năm 1985

Giả thuyết abc

Còn mở

Với các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau aa, bb, cc thỏa a+b=ca+b=c, với mọi ε>0\varepsilon > 0, chỉ có hữu hạn bộ ba như vậy thỏa c>rad⁡(abc)1+ε,c > \operatorname{rad}(abc)^{1+\varepsilon}, trong đó rad⁡(n)\operatorname{rad}(n) là tích các ước nguyên tố phân biệt của nn.

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, giả thuyết abc vẫn được giới toán học chính thống coi là chưa được giải. Chứng minh IUT mà Mochizuki tuyên bố đã được đăng trên PRIMS năm 2021, nhưng báo cáo năm 2018 của Scholze và Stix chỉ ra lỗ hổng quanh Hệ quả 3.12 vẫn chưa được giải quyết thỏa đáng với cộng đồng rộng hơn, và các nỗ lực hình thức hóa như Dự án LANA (dùng trợ lý chứng minh Lean) tới nay vẫn chưa xác nhận được bước gây tranh cãi đó. Ngoài một nhóm nhỏ quanh Kyoto, gần như không nhà số học nào coi giả thuyết đã được chứng minh.

Kết quả tốt nhất đã biết

  • Các chặn hiệu quả vô điều kiện (Stewart–Yu, 2001) liên hệ cc và rad⁡(abc)\operatorname{rad}(abc), nhưng vẫn yếu hơn nhiều so với chặn kiểu đa thức mà giả thuyết dự đoán.
  • Phiên bản đa thức, định lý Mason–Stothers, đã được chứng minh vô điều kiện và là mô hình cho loại phát biểu mà giả thuyết đưa ra với số nguyên.
  • Lý thuyết Teichmüller liên vũ trụ của Mochizuki tuyên bố có chứng minh đầy đủ (bản thảo từ 2012, đăng trên PRIMS năm 2021), nhưng báo cáo năm 2018 của Scholze và Stix chỉ ra một lỗ hổng chưa được giải quyết, và tuyên bố này chưa được đa số nhà số học ngoài Kyoto chấp nhận.

Công cụ và chỗ dừng

Công cụĐạt đượcChỗ dừng
Chặn hiệu quả sơ cấp và giải tích (Stewart–Tijdeman, Stewart–Yu)Chặn vô điều kiện nhưng yếu hơn nhiều, liên hệ cc và rad⁡(abc)\operatorname{rad}(abc)Vẫn còn khoảng cách mũ so với chặn kiểu đa thức mà giả thuyết dự đoán
Lý thuyết Teichmüller liên vũ trụ (Mochizuki)Tuyên bố có chứng minh đầy đủ, đăng trên PRIMS (2021)Lỗ hổng bị nêu ra (Scholze–Stix, 2018) quanh Hệ quả 3.12 vẫn chưa được giải quyết; tuyên bố chưa được đa số giới chuyên môn chấp nhận, và nỗ lực hình thức hóa (Dự án LANA) chưa xác nhận được bước đó

Câu hỏi còn mở

  • Giả thuyết abc có đúng hay không?
  • Lập luận IUT của Mochizuki có thể sửa được, bị bác bỏ, hay được hình thức hóa hay không — và nếu không, một chứng minh hoặc phản ví dụ được thừa nhận rộng rãi sẽ trông như thế nào?

Tài liệu tham khảo

  1. Joseph Oesterlé (1988). Nouvelles approches du "théorème" de Fermat
  2. Peter Scholze, Jakob Stix (2018). Why abc is still a conjecture
  3. Shinichi Mochizuki (2021). Inter-universal Teichmüller theory IV: Log-volume computations and set-theoretic foundations