Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, Đại số, nêu năm 1927

Giả thuyết Artin về căn nguyên thuỷ

Còn mở

Mọi số nguyên $a$ khác $-1$ và không phải là số chính phương đều là căn nguyên thuỷ modulo $p$ với vô hạn số nguyên tố $p$ , và khi $a$ không phải là luỹ thừa đúng đồng thời phần không có ước chính phương của nó không đồng dư với $1 \pmod{4}$ , tập các số nguyên tố như vậy có mật độ tiệm cận $C_{\mathrm{Artin}} = \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p(p-1)}\right) \approx 0.3739558136$ trong tập tất cả các số nguyên tố.

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, giả thuyết Artin về căn nguyên thuỷ vẫn còn mở một cách vô điều kiện: chưa có một số nguyên cụ thể $a$ nào (chẳng hạn $a=2$ hay $a=10$ ) được chứng minh rằng $a$ là căn nguyên thuỷ modulo vô hạn số nguyên tố. Có điều kiện theo Giả thuyết Riemann tổng quát cho các trường Kummer $\mathbb{Q}(\zeta_q, a^{1/q})$ , định lý năm 1967 của Hooley cho công thức tiệm cận đầy đủ. Một cách vô điều kiện, việc kết hợp cấu trúc nhân của căn nguyên thuỷ với sàng tuyến tính kiểu Chen và các ước lượng phân bố kiểu Bombieri–Vinogradov cho thấy tập ngoại lệ các cơ số nguyên tố không thoả mãn giả thuyết có lực lượng nhiều nhất là $2$ (Heath-Brown, 1986), và trong bất kỳ ba số nguyên độc lập nhân nào (kèm điều kiện nhẹ về dấu và số chính phương), có ít nhất một số là căn nguyên thuỷ vô hạn lần.

Kết quả tốt nhất đã biết

Có điều kiện theo Giả thuyết Riemann tổng quát, giả thuyết Artin đúng với mật độ tiệm cận chính xác cho mọi số nguyên không chính phương $a \ne -1$ (Hooley, 1967).
Một cách vô điều kiện, có nhiều nhất hai số nguyên tố $q$ làm giả thuyết Artin thất bại; do đó ít nhất một trong ba số $2$ , $3$ , hoặc $5$ là căn nguyên thuỷ modulo vô hạn số nguyên tố (Heath-Brown, 1986).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Định lý mật độ Chebotarev trong các mở rộng Kummer	Đặc trưng các số nguyên tố $p$ mà chỉ số của $\langle a \rangle$ chia hết cho $q$ thông qua sự phân rã của $p$ trong $\mathbb{Q}(\zeta_q, a^{1/q})$ , cho mật độ có điều kiện chính xác dưới GRH.	Các số hạng sai số vô điều kiện trong định lý mật độ Chebotarev quá yếu khi bậc $[\mathbb{Q}(\zeta_q, a^{1/q}):\mathbb{Q}] \approx q(q-1)$ tăng cùng $x$ .
Sàng tuyến tính và lập luận phụ thuộc nhân (Gupta–Murty, Heath-Brown)	Xây dựng các số nguyên tố $p$ mà $p-1$ chỉ có một số hữu hạn bị chặn các thừa số nguyên tố (như $p-1 = 2q$ hoặc $2q_1 q_2$ ), giới hạn số lượng phản ví dụ nguyên tố có thể có ở mức nhiều nhất là $2$ .	Không kiến thiết: các chặn tổng đặc trưng đòi hỏi lấy trung bình trên nhiều phần tử sinh độc lập, khiến trạng thái của bất kỳ số nguyên đơn lẻ $a$ nào vẫn chưa giải quyết được.

Câu hỏi còn mở

Có thể chứng minh vô điều kiện rằng $2$ (hoặc $10$ ) là căn nguyên thuỷ modulo vô hạn số nguyên tố hay không?
Liệu kích thước của tập ngoại lệ các cơ số nguyên tố có thể giảm vô điều kiện từ $2$ xuống $1$ hoặc $0$ hay không?

Tài liệu tham khảo

Christopher Hooley (1967). On Artin's conjecture · DOI:10.1515/crll.1967.225.209
D. R. Heath-Brown (1986). Artin's Conjecture for Primitive Roots · DOI:10.1093/qmath/37.1.27
M. Ram Murty (1988). Artin's conjecture on primitive roots: an update · DOI:10.1007/BF03023749