Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, nêu năm 1993

Giả thuyết Beal

Còn mở

Nếu $A^x + B^y = C^z$ trong đó $A, B, C, x, y, z$ là các số nguyên dương với $x, y, z > 2$ , thì $A, B,$ và $C$ có ít nhất một ước nguyên tố chung.

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, giả thuyết Beal vẫn còn mở và giải thưởng USD $1{,}000{,}000$ của AMS vẫn chưa có người nhận. Bằng cách kết hợp phương pháp môđun của Wiles (đường cong Frey và định lý hạ mức của Ribet) với tích phân $p$ -adic Chabauty–Coleman cùng kỹ thuật đường cong siêu eliptic, các nhà toán học đã chứng minh sự vô nghiệm nguyên tố cùng nhau cho nhiều họ vô hạn bộ ba số mũ $(x, y, z)$ , bao gồm $(p, p, 2)$ , $(p, p, 3)$ và $(2, 3, n)$ trên nhiều miền của $n$ (sau khi tính đến nghiệm Catalan đã biết $1^n + 2^3 = 3^2$ ). Tuy nhiên, việc xử lý đồng thời ba số mũ biến thiên độc lập $(x, y, z)$ vẫn vượt quá khả năng của các cách dựng đường cong Frey hiện nay.

Kết quả tốt nhất đã biết

Darmon và Granville (1995): với mọi bộ ba cố định $(x, y, z)$ thỏa mãn $1/x + 1/y + 1/z < 1$ , phương trình $A^x + B^y = C^z$ chỉ có hữu hạn nghiệm nguyên nguyên tố cùng nhau.
Các phương pháp môđun và Chabauty giải quyết trọn vẹn nhiều họ bộ mũ như $(p, p, 2)$ và $(p, p, 3)$ với số nguyên tố $p \ge 3$ , cũng như $(3, 3, n)$ và $(4, 4, n)$ .

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Tính môđun và đường cong Frey–Hellegouarch	Chứng minh Định lý lớn Fermat ( $x = y = z \ge 3$ ) và loại trừ nghiệm nguyên tố cùng nhau cho các họ như $(p, p, 2)$ và $(p, p, 3)$	Khi cả ba số mũ $x, y, z$ biến thiên độc lập, chưa biết cách dựng đường cong Frey trên $\mathbb{Q}$ gắn cho mọi bộ ba
Định lý Faltings qua phủ phân nhánh (Darmon–Granville)	Chứng minh tính hữu hạn của số nghiệm nguyên tố cùng nhau cho từng bộ ba số mũ cố định $(x, y, z)$ với $1/x + 1/y + 1/z < 1$	Định lý Faltings không hiệu quả (không cho chặn tường minh) và chỉ áp dụng cho từng bộ $(x, y, z)$ cố định thay vì đồng đều cho mọi số mũ

Câu hỏi còn mở

Có tồn tại nghiệm nguyên nguyên tố cùng nhau nào của $A^x + B^y = C^z$ với $x, y, z \ge 3$ hay không?
Liệu các biểu diễn Frey trên trường thực toàn phần hoặc các motif siêu bội có xử lý được ba số mũ nguyên tố độc lập $(p, q, r)$ hay không?

Tài liệu tham khảo

R. Daniel Mauldin (1997). A generalization of Fermat's Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem
Henri Darmon, Andrew Granville (1995). On the equations z^m = F(x, y) and Ax^p + By^q = Cz^r · DOI:10.1112/blms/27.6.513
Henri Cohen (2007). Number Theory, Volume II: Analytic and Modern Tools · DOI:10.1007/978-0-387-49894-2