Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, nêu năm 1876

Bài toán Brocard

Còn mở

Phương trình Diophantine $n! + 1 = m^2$ có nghiệm nguyên $(n, m)$ nào khác ngoài $(4, 5)$ , $(5, 11)$ và $(7, 71)$ hay không?

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, bài toán Brocard vẫn còn mở: thậm chí chưa biết một cách vô điều kiện liệu số nghiệm của $n! + 1 = m^2$ có hữu hạn hay không. Dưới giả thuyết $abc$ , lập luận năm 1993 của Overholt chặn được ngay $n$ vì căn nguyên tố $\mathrm{rad}(n!(m-1)(m+1))$ không vượt quá $m \prod_{p \le n} p \approx m e^{(1+o(1))n}$ , nhỏ hơn rất nhiều so với $m^2 = n! + 1 \approx (n/e)^n$ . Về mặt tính toán, các thuật toán sàng thặng dư bậc hai đã loại trừ mọi nghiệm với $7 < n \le 10^{15}$ , củng cố niềm tin rằng $(4,5)$ , $(5,11)$ và $(7,71)$ là các số Brown duy nhất.

Kết quả tốt nhất đã biết

Overholt (1993): nếu giả thuyết $abc$ đúng, phương trình $n! + 1 = m^2$ chỉ có hữu hạn nghiệm nguyên.
Berndt và Galway (2000) cùng các tính toán kế tiếp: không tồn tại nghiệm nào trong khoảng $7 < n \le 10^{15}$ .

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Cận căn nguyên tố qua giả thuyết $abc$ (Overholt–Dąbrowski–Luca)	Khai thác độ trơn lũy thừa nguyên tố rất cao của $n!$ để chứng minh có điều kiện tính hữu hạn nghiệm của $n! + 1 = m^2$ và $n! = P(x)$	Phụ thuộc vào giả thuyết $abc$ chưa được chứng minh; các cận vô điều kiện từ dạng tuyến tính của logarit $p$ -adic còn quá yếu để thắng tốc độ tăng của $n!$
Sàng môđun bằng thặng dư bậc hai	Kiểm tra xem $-1 \equiv n! \pmod{p}$ có phải là thặng dư bậc hai trên các số nguyên tố phụ $p > n$ hay không, qua đó loại trừ $7 < n \le 10^{15}$	Chỉ kiểm tra được các miền hữu hạn của $n$ và không thể loại trừ nghiệm trên toàn bộ tập số nguyên

Câu hỏi còn mở

Có thể chứng minh vô điều kiện rằng $n! + 1 = m^2$ chỉ có hữu hạn nghiệm hay không?
Có phải $(4, 5)$ , $(5, 11)$ và $(7, 71)$ là các số Brown duy nhất hay không?

Tài liệu tham khảo

Marius Overholt (1993). The factorial equation n! + 1 = m^2 · DOI:10.1112/blms/25.2.104
Andrzej Dąbrowski (1996). On the Diophantine equation x! + A = y^2
Bruce C. Berndt, William F. Galway (2000). On the Brocard–Ramanujan Diophantine equation n! + 1 = m^2 · DOI:10.1023/A:1009873805276