Bài toán mở, Đại số, nêu năm 1902

Bài toán Burnside

Giải một phần

Nếu $G$ là một nhóm hữu hạn sinh mà mọi phần tử đều có cấp hữu hạn (Bài toán Burnside tổng quát), hoặc mọi phần tử $g \in G$ đều thỏa mãn $g^n = 1$ với một số nguyên cố định $n \ge 1$ (Bài toán Burnside bị chặn cho nhóm Burnside tự do $B(m, n)$ ), thì $G$ có bắt buộc phải hữu hạn hay không? Trong Bài toán Burnside thu hẹp, có tồn tại nhóm hữu hạn lớn nhất gồm $m$ phần tử sinh và có số mũ $n$ hay không?

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, trong khi Bài toán Burnside tổng quát (sai) và Bài toán Burnside thu hẹp (đúng) đã được giải quyết trọn vẹn, Bài toán Burnside bị chặn vẫn còn mở cho các số mũ trung gian. Cụ thể, với $m \ge 2$ , $B(m, n)$ mới chỉ được biết là hữu hạn khi $n \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$ , và câu hỏi nổi tiếng liệu nhóm $2$ phần tử sinh $B(2, 5)$ có số mũ $5$ (hoặc $B(2, 8)$ có số mũ $8$ ) là hữu hạn hay vô hạn vẫn chưa có lời giải.

Kết quả tốt nhất đã biết

Bài toán Burnside thu hẹp đúng với mọi $m$ và $n$ : mọi nhóm hữu hạn $m$ phần tử sinh có số mũ $n$ đều có cấp bị chặn bởi một hàm $f(m, n)$ (Kostrikin 1958 cho $n$ nguyên tố; Zelmanov 1990–1991 cho $n$ lũy thừa nguyên tố; phép quy dẫn Hall–Higman 1956 cho $n$ tổng quát). Đối với $B(2, 5)$ , thương hữu hạn lớn nhất $R(2, 5)$ có cấp $5^{34}$ (Havas, Newman và Vaughan-Lee 1990).
Nhóm Burnside tự do $B(m, n)$ ( $m \ge 2$ ) hữu hạn với $n \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$ và vô hạn với mọi số lẻ $n \ge 665$ (Novikov–Adian 1968, Adian 1975) cũng như với các số mũ chẵn lớn (Ivanov 1994, Lysenok 1996).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Đại số Lie phân bậc và các đồng nhất thức đại số Jordan	Chặn lớp lũy linh của các $p$ -nhóm hữu hạn có số mũ $p^k$ bằng cách chuyển các giao hoán tử nhóm thành các đồng nhất thức kiểu Engel trong đại số Lie, giải quyết hoàn toàn Bài toán Burnside thu hẹp	Chỉ áp dụng được cho phần hữu hạn dư (các thương hữu hạn) chứ không thể loại trừ sự tồn tại của một thương vô hạn đơn hoặc không hữu hạn dư bên trong $B(2, 5)$
Phân tích từ quy nạp Novikov–Adian và giản ước nhỏ hình học (giản đồ van Kampen)	Kiểm soát các từ tuần hoàn qua các bậc quy nạp để chứng minh tính vô hạn của $B(m, n)$ cho các số mũ lẻ và chẵn đủ lớn	Các ước lượng độ cong giản ước nhỏ bị phá vỡ khi số mũ $n$ nhỏ (như $n = 5, 7, 8$ ), nơi các quan hệ tuần hoàn chồng lấn tương tác quá chặt chẽ

Câu hỏi còn mở

Nhóm Burnside tự do $B(2, 5)$ có hạng $2$ và số mũ $5$ là hữu hạn (cấp $5^{34}$ ) hay vô hạn?
Số mũ $n$ nhỏ nhất để $B(2, n)$ vô hạn là bao nhiêu?

Tài liệu tham khảo

Sergei I. Adian (1979). The Burnside Problem and Identities in Groups
Efim I. Zelmanov (1990). Solution of the restricted Burnside problem for groups of odd exponent · DOI:10.1070/IM1991v036n01ABEH001946
Efim I. Zelmanov (1991). Solution of the restricted Burnside problem for 2-groups · DOI:10.1070/SM1992v072n02ABEH001272
Sergei V. Ivanov (1994). The free Burnside groups of sufficiently large exponents · DOI:10.1142/S0218196794000026