Giả thuyết Cramér về khoảng cách giữa các số nguyên tố

Tính đến năm 2026, một khoảng cách khổng lồ vẫn ngăn cách các chặn trên và chặn dưới đã biết cho khoảng cách nguyên tố cực đại với dự đoán $(\log p_n)^2$ của Cramér. Một cách vô điều kiện, chặn trên tốt nhất cho mọi khoảng cách nguyên tố là $g_n \ll p_n^{0.525}$ (Baker–Harman–Pintz, 2001), trong khi ước lượng mật độ không điểm năm 2024 của Guth–Maynard thiết lập định lý số nguyên tố tiệm cận trên các khoảng ngắn $[x, x+x^{17/30+\varepsilon}]$. Ngay cả dưới giả thuyết Riemann, chặn tốt nhất đã biết cũng chỉ là $g_n = O(\sqrt{p_n}\log p_n)$, vẫn là một luỹ thừa của $p_n$ chứ chưa phải đa thức theo logarit. Ở chiều ngược lại, chặn dưới vô điều kiện tốt nhất cho vô hạn khoảng cách là $g_n \gg \frac{\log p_n \log\log p_n \log\log\log\log p_n}{\log\log\log p_n}$ (Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao, 2014), chỉ nhỉnh hơn $\log p_n$ một chút.