Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, Giải tích, nêu năm 1849

Bài toán ước số Dirichlet

Còn mở

Gọi $d(n)$ là số ước dương của $n$ , và viết $D(x) = \sum_{n \le x} d(n) = x\log x + (2\gamma - 1)x + \Delta(x)$ , trong đó $\gamma$ là hằng số Euler–Mascheroni. Hãy xác định cận dưới đúng $\theta$ của mọi số mũ sao cho $\Delta(x) = O(x^{\theta+\varepsilon})$ khi $x \to \infty$ với mọi $\varepsilon > 0$ ; giả thuyết đặt ra là $\theta = \tfrac{1}{4}$ .

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, bài toán ước số Dirichlet vẫn còn để ngỏ, với số mũ thực sự $\theta$ được biết nằm trong đoạn $[\tfrac{1}{4}, \tfrac{131}{416}]$ (đúng bằng một nửa khoảng số mũ của bài toán hình tròn Gauss qua phép đổi biến $x = r^2$ ). Chặn trên tốt nhất đã qua bình duyệt là định lý năm 2003 của Martin Huxley $\theta \le \tfrac{131}{416} \approx 0.31490$ (cùng các khảo sát preprint tiếp theo của Bourgain và Watt dùng lý thuyết tách hướng tới $\tfrac{517}{1648} \approx 0.31371$ ). Theo nghĩa trung bình, Tong (1956) và Heath-Brown (1992) đã chứng minh $\int_1^T \Delta(x)^2\,dx \sim c T^{3/2}$ , tức $|\Delta(x)|$ có bậc trung bình bình phương là $x^{1/4}$ , trong khi Soundararajan (2003) chứng minh chặn dao động $\Delta(x) = \Omega\!\left(x^{1/4}(\log x)^{1/4}(\log\log x)^{\frac{3}{4}(2^{4/3}-1)}(\log\log\log x)^{-5/8}\right)$ .

Kết quả tốt nhất đã biết

Chặn trên đã công bố: $\Delta(x) = O\!\left(x^{131/416}(\log x)^{26947/8320}\right)$ , do đó $\theta \le \tfrac{131}{416} \approx 0.31490$ (Huxley, 2003).
Trung bình bình phương và phân bố giới hạn: $\int_1^T \Delta(x)^2\,dx \sim c T^{3/2}$ và $x^{-1/4}\Delta(x)$ có phân bố giới hạn liên tục không Gauss (Heath-Brown, 1992, 1999).
Chặn dưới dao động: $\Delta(x) = \Omega\!\left(x^{1/4}(\log x)^{1/4}(\log\log x)^{\frac{3}{4}(2^{4/3}-1)}(\log\log\log x)^{-5/8}\right)$ (Soundararajan, 2003).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Công thức tổng Voronoi và tích phân đường viền Perron	Biểu diễn $\Delta(x)$ dưới dạng tích phân đường viền của $\zeta(s)^2 x^s / s$ hoặc chuỗi hàm Bessel cắt cụt $\frac{x^{1/4}}{\pi\sqrt{2}} \sum_{n \le N} d(n) n^{-3/4} \cos(4\pi\sqrt{nx} - \tfrac{\pi}{4}) + O(x^{1/2+\varepsilon}N^{-1/2})$ .	Ngay cả khi giả sử giả thuyết Lindelöf ( $\zeta(\tfrac{1}{2}+it) = O(t^{\varepsilon})$ ), việc dịch đường lấy tích phân Perron tới $\mathrm{Re}(s) = \tfrac{1}{2}$ cũng chỉ cho $\Delta(x) = O(x^{1/2+\varepsilon})$ nếu không khai thác thêm sự triệt tiêu pha trong $x^{it}$ .
Cặp số mũ và phương pháp Hardy–Littlewood rời rạc của Bombieri–Iwaniec–Huxley	Chặn các tổng mũ kép với pha $\sqrt{nx}$ để thiết lập $\theta \le \tfrac{131}{416}$ .	Giả thuyết cặp số mũ $(k, l) = (\varepsilon, \tfrac{1}{2}+\varepsilon)$ sẽ suy ra $\theta = \tfrac{1}{4}$ , nhưng các quá trình A, B và các chặn tách đã biết vẫn còn cách rất xa $(\varepsilon, \tfrac{1}{2}+\varepsilon)$ .

Câu hỏi còn mở

Đẳng thức $\Delta(x) = O(x^{1/4+\varepsilon})$ có đúng với mọi $\varepsilon > 0$ hay không?
Trong bài toán ước số Piltz với $k \ge 3$ , đẳng thức $\Delta_k(x) = O(x^{(k-1)/(2k)+\varepsilon})$ có đúng với mọi $\varepsilon > 0$ hay không?

Tài liệu tham khảo

G. H. Hardy (1916). On Dirichlet's divisor problem · DOI:10.1112/plms/s2_15.1.1
Henryk Iwaniec, C. J. Mozzochi (1988). On the divisor problem, and the circle problem · DOI:10.1016/0022-314X(88)90025-X
Martin N. Huxley (2003). Exponential sums and lattice points III · DOI:10.1112/S0024611503014485
K. Soundararajan (2003). Omega results for the divisor and circle problems · DOI:10.1155/S1073792803130929