Lời giải: Chứng minh bất khả thi bằng đại số của Wantzel cho bài toán gấp đôi khối lập phương (1837)

Bài toán Delos yêu cầu một phép dựng hình bằng thước kẻ và compa, bắt đầu từ đoạn thẳng đơn vị, cho cạnh $x$ của một khối lập phương có thể tích gấp đôi khối đơn vị: điều kiện $x^3 = 2$ buộc $x = \sqrt[3]{2}$, một nghiệm của $P(x) = x^3 - 2$. Bài toán đã cổ xưa từ thế kỷ 5 TCN: Hippocrates xứ Chios quy nó về việc chèn hai trung bình tỷ lệ giữa $1$ và $2$ — các độ dài $x, y$ thỏa $1/x = x/y = y/2$, về mặt đại số nghĩa là $x^2 = y$ và $y^2 = 2x$, suy ra $x^4 = 2x$ và $x^3 = 2$.

Sự quy về này quan trọng vì nó cho thấy bài toán Delos thực chất là câu hỏi về trạng thái của một số thực duy nhất, chứ không phải về hình học nói chung: mọi thứ phụ thuộc vào việc độ dài cụ thể $\sqrt[3]{2}$ có dựng được bằng hai dụng cụ cổ điển hay không. Bài báo năm 1837 của Wantzel trên tập san của Liouville trả lời điều này bằng cùng phương pháp ông áp dụng cho phép chia ba góc trong cùng bản báo cáo — dịch tính dựng được thành một điều kiện đại số về bậc, rồi kiểm tra xem số cần thiết có thỏa mãn nó không.

Các bước còn lại thực hiện điều này: Bước 1 chứng minh tiêu chuẩn tổng quát rằng mọi số dựng được có bậc là lũy thừa của $2$ trên $\mathbb{Q}$; Bước 2 chỉ ra $x^3 - 2$ bất khả quy, nên $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = 3$; Bước 3 đối đầu hai sự kiện này. Đây là phép bất khả cổ điển gọn hơn trong hai phép của Wantzel, vì chỉ cần kiểm tra một số.