Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, Giải tích, nêu năm 1968

Giả thuyết Elliott–Halberstam

Còn mở

Với mọi $\theta < 1$ và mọi $A > 0$ , số hạng sai số $E(x; q) = \max_{\gcd(a,q)=1} \left| \pi(x; q, a) - \frac{\pi(x)}{\varphi(q)} \right|$ trong định lý số nguyên tố cho cấp số cộng thoả mãn $\sum_{1 \le q \le x^{\theta}} E(x; q) \ll_{\theta, A} \frac{x}{(\log x)^A}$ với mọi $x > 2$ .

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, giả thuyết Elliott–Halberstam đầy đủ (lấy giá trị lớn nhất trên mọi lớp thặng dư nguyên tố cùng nhau $a \pmod{q}$ với mỗi môđun $q$ ) vẫn còn để ngỏ với mọi $\theta > 1/2$ ; mốc vô điều kiện cho trường hợp lấy giá trị lớn nhất đầy đủ vẫn là định lý Bombieri–Vinogradov ( $\theta = 1/2$ ). Tuy nhiên, khi lớp thặng dư $a$ được cố định (hoặc gắn trọng số trơn) thay vì lấy cực đại, những tiến bộ mạnh mẽ đã đẩy mức phân bố vượt xa $1/2$ : nối tiếp Bombieri–Friedlander–Iwaniec (1986), Zhang (2013) và Polymath8a (2014, đạt $\theta = 1/2 + 7/300$ cho các môđun trơn), Maynard (2020) cùng các công trình tiếp theo đã đẩy số mũ cho các biến thể lớp thặng dư cố định vượt qua $3/5$ .

Kết quả tốt nhất đã biết

Với phép lấy giá trị lớn nhất đầy đủ trên $\gcd(a,q)=1$ , giả thuyết đúng vô điều kiện cho mọi $\theta < 1/2$ (định lý Bombieri–Vinogradov, 1965).
Với một lớp thặng dư cố định $a \ne 0$ và các trọng số trơn hoặc khả phân tích tốt trên $q$ , mức phân bố vượt quá $1/2$ một cách vô điều kiện (Bombieri–Friedlander–Iwaniec 1986; Zhang 2013; Polymath8a 2014; Maynard 2020).
Giả sử giả thuyết Elliott–Halberstam, $\liminf_{n\to\infty} (p_{n+1}-p_n) \le 12$ (Maynard, 2013); giả sử giả thuyết Elliott–Halberstam tổng quát hoá, $\liminf_{n\to\infty} (p_{n+1}-p_n) \le 6$ (Polymath8b, 2014).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Bất đẳng thức sàng lớn và đồng nhất thức Vaughan	Phân tích hàm chỉ báo số nguyên tố thành các tổng song tuyến tính Loại I và Loại II rồi chặn trung bình của chúng trên các đặc trưng Dirichlet nguyên thuỷ, chứng minh định lý Bombieri–Vinogradov ( $\theta < 1/2$ ).	Vì sàng lớn chặn chuẩn $L^2$ của các tổng đặc trưng mà không khai thác sự triệt tiêu giữa các lớp thặng dư $a_q$ khác nhau, nó vấp phải rào cản căn bậc hai cứng tại $\theta = 1/2$ .
Phương pháp phân tán và các chặn tổng Kloosterman (Deligne, Deshouillers–Iwaniec)	Áp dụng công thức tổng Poisson và các chặn hình học đại số Weil/Deligne hoặc lý thuyết phổ của dạng tự đẳng cấu để đẩy mức phân bố vượt qua $\theta = 1/2$ khi $a$ cố định.	Thất bại khi lớp thặng dư $a_q$ biến thiên tuỳ ý theo $q$ , vì việc lấy cực đại $\max_{\gcd(a,q)=1}$ phá vỡ sự phụ thuộc trơn vào $q$ cần thiết cho công thức tổng Poisson.

Câu hỏi còn mở

Có tồn tại $\theta > 1/2$ nào để chặn Elliott–Halberstam đầy đủ (với $\max_{\gcd(a,q)=1}$ nằm trong tổng) đúng một cách vô điều kiện hay không?
Với một lớp thặng dư cố định $a \ne 0$ , mức phân bố của số nguyên tố có thể được chứng minh vô điều kiện cho mọi $\theta < 1$ hay không?

Tài liệu tham khảo

Enrico Bombieri (1965). On the large sieve and its applications · DOI:10.1112/S0025579300005313
Peter D. T. A. Elliott, Heini Halberstam (1970). A conjecture in prime number theory
Enrico Bombieri, John B. Friedlander, Henryk Iwaniec (1986). Primes in arithmetic progressions to large moduli · DOI:10.1007/BF02392590
John B. Friedlander, Andrew Granville (1989). Limitations to the equi-distribution of primes I · DOI:10.2307/1971450