エリオット–ハルバースタム予想

既知の最良の結果

• $\gcd(a,q)=1$ にわたる完全な最大値に対しては、すべての $\theta < 1/2$ で無条件に成り立つ(ボンビエリ–ヴィノグラードフの定理、1965年)。
• 固定された剰余類 $a \ne 0$ と $q$ 上の滑らかまたは分解可能な重みに対しては、分布レベルは無条件に $1/2$ を超える(ボンビエリ–フリードランダー–イヴァニエッツ 1986年、チャン 2013年、Polymath8a 2014年、メイナード 2020年)。
• エリオット–ハルバースタム予想を仮定すれば $\liminf_{n\to\infty} (p_{n+1}-p_n) \le 12$(メイナード、2013年)、一般化エリオット–ハルバースタム予想を仮定すれば $\liminf_{n\to\infty} (p_{n+1}-p_n) \le 6$(Polymath8b、2014年)となる。

使われた手法と限界

未解決の問い

• 和の内部に $\max_{\gcd(a,q)=1}$ を含む本来のエリオット–ハルバースタムの評価が、無条件に成り立つような $\theta > 1/2$ は存在するか。
• 固定された剰余類 $a \ne 0$ に対して、素数の分布レベルがすべての $\theta < 1$ に達することを無条件に証明できるか。