Bài toán mở, Tổ hợp và Toán rời rạc, Hình học, nêu năm 1950

Bài toán Hadwiger–Nelson

Còn mở

Xác định sắc số $\chi(\mathbb{R}^2)$ của mặt phẳng Euclid — tức là số màu tối thiểu cần dùng để tô mọi điểm của $\mathbb{R}^2$ sao cho không có hai điểm nào có khoảng cách Euclid $\|x - y\|_2 = 1$ được tô cùng một màu.

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, sắc số của mặt phẳng thỏa mãn $5 \le \chi(\mathbb{R}^2) \le 7$ . Cận dưới $\chi(\mathbb{R}^2) \ge 5$ được thiết lập bởi Aubrey de Grey (2018) và độc lập bởi Exoo cùng Ismailescu (2020), với đồ thị khoảng cách đơn vị sắc số $5$ nhỏ nhất hiện biết có $509$ đỉnh (Parts, 2020). Với các phép tô màu đo được, các công trình của Falconer và Bachoc–Passuello–Thiery đã khảo sát cận $\chi_m(\mathbb{R}^2) \ge 5$ và $\chi_m(\mathbb{R}^2) \ge 6$ , trong khi câu hỏi liệu có tồn tại đồ thị khoảng cách đơn vị hữu hạn sắc số $6$ trong $\mathbb{R}^2$ hay không vẫn còn mở.

Kết quả tốt nhất đã biết

Sắc số của mặt phẳng ít nhất bằng $5$ : $5 \le \chi(\mathbb{R}^2) \le 7$ (Aubrey de Grey, 2018).
Đồ thị khoảng cách đơn vị sắc số $5$ nhỏ nhất đã biết trong $\mathbb{R}^2$ có $509$ đỉnh (Jaan Parts, 2020, kế thừa đồ thị $510$ đỉnh của Heule).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Mạng khoảng cách đơn vị đại số và các bộ giải SAT	Nhúng các đồ thị con dày đặc của $\mathbb{Q}[\sqrt{3}, \sqrt{11}]$ chứa nhiều con suốt Moser và kiểm chứng bằng bộ giải SAT rằng mọi cách tô $4$ màu đều bị chặn, chứng minh $\chi(\mathbb{R}^2) \ge 5$ .	Với các phép tô $5$ màu, các đồ thị khoảng cách đơn vị trong $\mathbb{R}^2$ có bậc trung bình cực đại quá nhỏ để ngăn cản tính tô được bằng $5$ màu nếu không dùng tập đỉnh lớn hơn ở mức thiên văn.
Giải tích điều hòa và quy hoạch nửa xác định cho tô màu đo được	Chặn mật độ cực đại của các tập độc lập đo được trong $\mathbb{R}^2$ bằng hàm Bessel, chứng minh $\chi_m(\mathbb{R}^2) \ge 5$ .	Không thể loại trừ các phép tô $5$ màu hoặc $6$ màu không đo được được xây dựng thông qua tiên đề chọn.

Câu hỏi còn mở

Sắc số của mặt phẳng Euclid $\chi(\mathbb{R}^2)$ bằng $5$ , $6$ hay $7$ ?
Liệu giá trị của $\chi(\mathbb{R}^2)$ có phụ thuộc vào tiên đề chọn hoặc các tiên đề mở rộng của ZFC hay không?

Tài liệu tham khảo

Aubrey D. N. J. de Grey (2018). The chromatic number of the plane is at least 5 · arXiv:1804.02385
Alexander Soifer (2009). The Mathematical Coloring Book · DOI:10.1007/978-0-387-74642-5