Bài toán mở, Hình học, Tô pô, nêu năm 1911

Bài toán hình vuông nội tiếp (Toeplitz)

Còn mở

Mọi đường cong Jordan $\gamma \subset \mathbb{R}^2$ (đường cong phẳng khép kín, đơn, liên tục) đều chứa bốn điểm phân biệt tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông không suy biến.

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, bài toán hình vuông nội tiếp của Toeplitz vẫn còn mở đối với các đường cong Jordan liên tục tổng quát (chẳng hạn đường cong fractal hoặc không khả vi tại mọi điểm) $\gamma \subset \mathbb{R}^2$ . Với đường cong Jordan trơn, Joshua Evan Greene và Andrew Lobb (`arXiv:2005.09193`, Annals of Mathematics 2021) đã chứng minh giả thuyết hình chữ nhật nội tiếp mạnh hơn cho mọi tỉ lệ cạnh và sau đó mở rộng cho mọi tứ giác nội tiếp. Năm 2024 (`arXiv:2407.07798`), Greene và Lobb đưa vào các bất biến phổ từ đồng điều Floer Jordan để nâng định lý nội tiếp trên đồ thị Lipschitz của Tao từ hằng số Lipschitz $1$ lên $1 + \sqrt{2}$ . Rào cản chính cho đường cong liên tục tổng quát là khi xấp xỉ một đường cong liên tục bằng dãy đường cong trơn $\gamma_k \to \gamma$ , độ dài cạnh của các hình vuông nội tiếp trên $\gamma_k$ có thể co về $0$ khi qua giới hạn.

Kết quả tốt nhất đã biết

Mọi đường cong Jordan trơn ( $C^\infty$ ) đều nội tiếp được hình chữ nhật với mọi tỉ lệ cạnh và mọi tứ giác nội tiếp (Greene và Lobb, 2020–2021).
Mọi đường cong Jordan đơn điệu địa phương (không có điểm lùi nhọn) và mọi đường cong giới hạn bởi hai đồ thị Lipschitz với hằng số Lipschitz $< 1 + \sqrt{2}$ đều nội tiếp được một hình vuông (Stromquist 1989; Tao 2017; Greene–Lobb 2024).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Hình học symplectic và lý thuyết giao Lagrange	Mã hóa các cặp dây cung có cùng trung điểm và độ dài thành giao của các đa tạp con Lagrange trong $\mathbb{C}^2$ , giải quyết trọn vẹn bài toán nội tiếp hình chữ nhật và tứ giác nội tiếp cho đường cong trơn (Greene–Lobb, 2020).	Đòi hỏi vectơ tiếp tuyến trơn (hoặc tính chính quy Lipschitz nhẹ qua đồng điều Floer); với đường cong liên tục thô, các hình vuông vô cùng bé dọc theo đường cong không tách biệt được khỏi các hình vuông kích thước thực.
Tính chẵn lẻ tô pô và các bất biến không gian cấu hình	Chứng minh rằng các đường cong trơn hoặc giải tích từng khúc ở vị trí tổng quát có một số lẻ hình vuông nội tiếp, và mọi đường cong Jordan liên tục đều nội tiếp được một hình chữ nhật (Vaughan, 1977).	Khi qua giới hạn tới các đường cong thô có góc nhọn hoặc dao động fractal, một dãy các hình vuông không suy biến trên các xấp xỉ trơn có thể co sập về một điểm duy nhất.

Câu hỏi còn mở

Liệu mọi đường cong Jordan liên tục trong $\mathbb{R}^2$ (không cần bất kỳ giả thiết trơn hay Lipschitz nào) có luôn chứa bốn đỉnh của một hình vuông hay không?
Liệu mọi đường cong Jordan liên tục có nội tiếp được hình chữ nhật với mọi tỉ lệ cạnh, hay các đường cong fractal có thể né tránh một số tỉ lệ cạnh nhất định?

Tài liệu tham khảo

Joshua Evan Greene, Andrew Lobb (2021). The rectangular peg problem · DOI:10.4007/annals.2021.194.2.4 · arXiv:2005.09193
Joshua Evan Greene, Andrew Lobb (2024). Square pegs between two graphs · arXiv:2407.07798 [preprint, chưa bình duyệt]
Benjamin Matschke (2014). A survey on the square peg problem · DOI:10.1090/noti1100