Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, Đại số, nêu năm 1967

Chương trình Langlands

Giải một phần

Với mọi nhóm đại số khả quy $G$ trên một trường toàn cục $F$ , thiết lập một tương ứng chính tắc giữa các biểu diễn tự đẳng cấu của $G(\mathbb{A}_F)$ và các biểu diễn Galois của $\mathrm{Gal}(\overline{F}/F)$ vào nhóm đối ngẫu Langlands ${}^L G$ (luật thuận nghịch), sao cho các đồng cấu giữa các nhóm đối ngẫu cảm sinh phép chuyển tương thích giữa các biểu diễn tự đẳng cấu (tính hàm tử) bảo toàn các hàm $L$ theo đẳng thức $L(s, \pi, r) = L(s, \rho, r)$ với mọi biểu diễn $r$ .

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, tương ứng Langlands toàn cục đã được chứng minh cho $\mathrm{GL}_n$ trên trường hàm (Drinfeld, Lafforgue) và được tham số hóa theo chiều từ tự đẳng cấu sang Galois cho các nhóm khả quy tổng quát $G$ trên trường hàm (Vincent Lafforgue, 2018). Tháng 5 năm 2024, Arinkin, Beraldo, Campbell, Chen, Faergeman, Gaitsgory, Lin, Raskin và Rozenblyum công bố bộ năm bài báo chứng minh giả thuyết Langlands hình học phạm trù hóa không phân nhánh. Trên các trường số như $\mathbb{Q}$ , tính tự đẳng cấu đã được biết cho nhiều biểu diễn Galois cổ điển và kiểu Shimura nhờ kỹ thuật vá Taylor–Wiles cùng phân loại nội soi của Arthur, nhưng luật thuận nghịch và tính hàm tử tổng quát vẫn còn bỏ ngỏ.

Kết quả tốt nhất đã biết

Tương ứng Langlands toàn cục cho $\mathrm{GL}_n$ trên trường hàm (Laurent Lafforgue, 2002) và tương ứng Langlands địa phương cho $\mathrm{GL}_n$ trên các trường $p$ -adic (Harris–Taylor, Henniart, 2000).
Chứng minh hoàn chỉnh giả thuyết Langlands hình học phạm trù hóa không phân nhánh cho các nhóm khả quy $G$ trên đường cong đại số phức (Gaitsgory, Raskin và cộng sự, 2024).
Hình học hóa tương ứng Langlands địa phương trên đường cong Fargues–Fontaine cho các nhóm khả quy tổng quát $G$ trên trường $p$ -adic (Fargues–Scholze, 2021).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Công thức vết Arthur–Selberg và lý thuyết nội soi	Kết hợp với chứng minh Bổ đề cơ bản của Ngô Bảo Châu, thiết lập phép chuyển hàm tử từ các nhóm cổ điển (trực giao, symplectic, unita) sang $\mathrm{GL}_n$ (Arthur, 2013).	Tính hàm tử tổng quát (Vượt qua nội soi) đòi hỏi phải cô lập các cực hàm $L$ tùy ý trong công thức vết mà không thể chỉ dựa vào so sánh nhóm nội soi.
Nâng tính modular Taylor–Wiles và kỹ thuật vá Calegari–Geraghty	Chứng minh tính modular của các đường cong elliptic trên $\mathbb{Q}$ và các trường thực toàn phần, giả thuyết Sato–Tate và tính tự đẳng cấu tiềm năng cho các lũy thừa đối xứng của biểu diễn $\mathrm{GL}_2$ .	Đòi hỏi các biểu diễn Galois phải xuất hiện trong đối đồng điều của đa tạp Shimura hoặc thỏa mãn các điều kiện chính quy và tự đối ngẫu ngặt nghèo trên $\mathbb{Q}$ .

Câu hỏi còn mở

Liệu mọi biểu diễn Galois motivic trên một trường số có đều tương ứng với một biểu diễn tự đẳng cấu của một nhóm khả quy $G$ hay không?
Liệu tính hàm tử Langlands có thể được chứng minh cho mọi phép chuyển lũy thừa đối xứng $\mathrm{Sym}^n$ và các đồng cấu tổng quát của nhóm đối ngẫu Langlands trên trường số hay không?

Tài liệu tham khảo

Ngô Bảo Châu (2010). Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie · DOI:10.1007/s10240-010-0026-7
Stephen Gelbart (1984). An elementary introduction to the Langlands program · DOI:10.1090/S0273-0979-1984-15237-6
Dennis Gaitsgory, Sam Raskin (2024). Proof of the geometric Langlands conjecture I: construction of the functor · arXiv:2405.03599 [preprint, chưa bình duyệt]