Math Labs

Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, Đại số, nêu năm 1933

Bài toán độ đo Mahler của Lehmer

Còn mở

Có tồn tại hằng số μ>1\mu > 1 sao cho mọi đa thức hệ số nguyên P(x)∈Z[x]P(x) \in \mathbb{Z}[x] có độ đo Mahler M(P)>1M(P) > 1 đều thỏa mãn M(P)≥μM(P) \ge \mu hay không? Cụ thể hơn, liệu số Lehmer λ≈1.17628\lambda \approx 1.17628, độ đo Mahler của L(x)=x10+x9−x7−x6−x5−x4−x3+x+1L(x) = x^{10} + x^9 - x^7 - x^6 - x^5 - x^4 - x^3 + x + 1, có phải là độ đo Mahler nhỏ nhất lớn hơn thực sự so với 11?

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, bài toán độ đo Mahler của Lehmer vẫn còn mở. Định lý năm 1971 của Smyth đã giải quyết trọn vẹn trường hợp không thuận nghịch với cận dưới chặt θ0≈1.32471\theta_0 \approx 1.32471, nên mọi phản ví dụ nếu có đều phải là đa thức thuận nghịch bậc chẵn. Bất đẳng thức năm 1979 của Dobrowolski và các cải tiến sau đó loại trừ khả năng độ đo Mahler tiến về 11 quá nhanh khi bậc dd tăng, và Dimitrov (2019) đã chứng minh giả thuyết Schinzel–Zassenhaus về môđun lớn nhất của các nghiệm liên hợp, một bài toán họ hàng lâu năm. Tuy vậy, chưa phương pháp nào loại trừ được khả năng tồn tại đa thức thuận nghịch bậc cao (hoặc số Salem) có độ đo Mahler nằm thực sự giữa 11 và λ≈1.17628\lambda \approx 1.17628.

Kết quả tốt nhất đã biết

  • Smyth (1971): mọi đa thức hệ số nguyên không thuận nghịch P(x)P(x) với P(0)≠0P(0) \ne 0 đều thỏa mãn M(P)≥θ0≈1.32471795M(P) \ge \theta_0 \approx 1.32471795.
  • Dobrowolski (1979): với mọi đa thức bất khả quy hệ số nguyên không chia đường tròn có bậc dd, ta có M(P)>1+c(log⁡log⁡d/log⁡d)3M(P) > 1 + c (\log \log d / \log d)^3.
  • Tính toán vét cạn (Mossinghoff, Rhin và Wu 2008) xác nhận λ≈1.1762808\lambda \approx 1.1762808 là độ đo Mahler nhỏ nhất >1> 1 với mọi bậc d≤44d \le 44.

Công cụ và chỗ dừng

Công cụĐạt đượcChỗ dừng
Đa thức phụ và cận kết thức (phương pháp Dobrowolski)Cho cận dưới tiệm cận tổng quát tốt nhất M(P)>1+c(log⁡log⁡d/log⁡d)3M(P) > 1 + c (\log \log d / \log d)^3 theo bậc ddThừa số (log⁡log⁡d/log⁡d)3(\log \log d / \log d)^3 tiến về 00 khi d→∞d \to \infty, nên không cho được hằng số μ>1\mu > 1 độc lập với bậc
Kỹ thuật hàm chỉnh hình / định thức Hankel (phương pháp Dimitrov)Giải quyết giả thuyết Schinzel–Zassenhaus về môđun lớn nhất của các liên hợp của số nguyên đại sốĐòi hỏi cấu trúc không thuận nghịch hoặc tính không hữu tỉ của chuỗi lũy thừa, vốn thất bại khi các nghiệm liên hợp của đa thức thuận nghịch tụ sát đường tròn đơn vị

Câu hỏi còn mở

  • Có tồn tại hằng số phổ quát μ>1\mu > 1 chặn M(P)M(P) tách khỏi 11 trên mọi bậc dd hay không?
  • Số Lehmer λ≈1.17628\lambda \approx 1.17628 có phải là số Salem nhỏ nhất hay không?

Tài liệu tham khảo

  1. D. H. Lehmer (1933). Factorization of certain cyclotomic functions · DOI:10.2307/1968172
  2. C. J. Smyth (1971). On the product of the conjugates outside the unit circle of an algebraic integer · DOI:10.1112/blms/3.2.169
  3. E. Dobrowolski (1979). On a question of Lehmer and the number of irreducible factors of a polynomial · DOI:10.4064/aa-34-4-391-401
  4. Enrico Bombieri, Walter Gubler (2006). Heights in Diophantine Geometry · DOI:10.1017/CBO9780511542879