未解決問題、算術と数論, 代数学、1933年に提起

レーマーのマーラー測度問題

未解決

マーラー測度が $M(P) > 1$ であるすべての整数係数多項式 $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ が $M(P) \ge \mu$ を満たすような定数 $\mu > 1$ は存在するか。より具体的には、 $L(x) = x^{10} + x^9 - x^7 - x^6 - x^5 - x^4 - x^3 + x + 1$ のマーラー測度であるレーマー数 $\lambda \approx 1.17628$ は、 $1$ より真に大きい最小のマーラー測度であるか。

研究の最前線 2026年時点

2026年現在、レーマーのマーラー測度問題は未解決である。スマイスの1971年の定理は最良の下界 $\theta_0 \approx 1.32471$ を確立することで非相反の場合を完全に解決しているため、いかなる反例も偶数次数の相反多項式でなければならない。ドブロヴォルスキの1979年の不等式とその後の改良により、次数 $d$ が大きくなるにつれてマーラー測度が急速に $1$ に近づくことは排除されており、またディミトロフ(2019年)は長年の姉妹問題であった共役の最大絶対値に関するシンツェル–ツァッセンハウス予想を証明した。それでもなお、マーラー測度が $1$ と $\lambda \approx 1.17628$ の間に真に入る高次の相反多項式(あるいはサレム数)の存在を排除できる手法は見つかっていない。

既知の最良の結果

スマイス(1971年): $P(0) \ne 0$ を満たすすべての非相反整数係数多項式 $P(x)$ に対して $M(P) \ge \theta_0 \approx 1.32471795$ が成り立つ。
ドブロヴォルスキ(1979年):次数 $d$ の任意の非円分既約整数係数多項式に対して $M(P) > 1 + c (\log \log d / \log d)^3$ が成り立つ。
網羅的計算(モッシングホフ、ラン、呉、2008年)により、すべての次数 $d \le 44$ において $\lambda \approx 1.1762808$ が $> 1$ の最小のマーラー測度であることが確認されている。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
補助多項式と終結式の評価(ドブロヴォルスキの手法)	次数 $d$ に関する最良の漸近的下界 $M(P) > 1 + c (\log \log d / \log d)^3$ を与える	$d \to \infty$ のとき因子 $(\log \log d / \log d)^3$ が $0$ に減衰するため、次数に依存しない定数 $\mu > 1$ が得られない
正則関数・ハンケル行列式の手法(ディミトロフの手法)	代数的整数の共役の最大絶対値(ハウス)に関するシンツェル–ツァッセンハウス予想を解決する	相反多項式において共役が単位円付近に密集する場合には通用しない非相反構造やべき級数の非有理性を必要とする

未解決の問い

すべての次数 $d$ にわたって $M(P)$ を $1$ から離して下から抑える普遍定数 $\mu > 1$ は存在するか。
レーマー数 $\lambda \approx 1.17628$ は最小のサレム数であるか。

参考文献

D. H. Lehmer (1933). Factorization of certain cyclotomic functions · DOI:10.2307/1968172
C. J. Smyth (1971). On the product of the conjugates outside the unit circle of an algebraic integer · DOI:10.1112/blms/3.2.169
E. Dobrowolski (1979). On a question of Lehmer and the number of irreducible factors of a polynomial · DOI:10.4064/aa-34-4-391-401
Enrico Bombieri, Walter Gubler (2006). Heights in Diophantine Geometry · DOI:10.1017/CBO9780511542879