未解決問題、算術と数論, 解析学、1908年に提起

リンデレーフ予想

未解決

任意の $\varepsilon > 0$ に対し、臨界線上のリーマンゼータ関数は $t \to \infty$ のとき $\zeta\!\left(\tfrac{1}{2} + it\right) = O(t^{\varepsilon})$ を満たす。同値な表現として、増大指数 $\mu(\sigma) = \inf\{a : \zeta(\sigma+it) = O(t^a)\}$ は $\mu\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = 0$ を満たす。

研究の最前線 2026年時点

2026年時点で、リンデレーフ予想は未解決である。臨界線上の無条件の最良点別評価は2017年のブルガンによる $\mu(\tfrac{1}{2}) \le \tfrac{13}{84} \approx 0.15476$ であり、ブルガン–デメターの $\ell^2$ デカップリングをボンビエリ–イヴァニエッツ法に組み込むことで得られた(ハクスリーの $\tfrac{32}{205} \approx 0.15610$ を改良)。 $\zeta(\tfrac{1}{2}+it)$ のモーメントについては、2次( $2k=2$ )および4次( $2k=4$ )モーメントの漸近公式が無条件に知られているが、6次モーメント( $2k=6$ )すら未解決である。一方、リンデレーフ予想から従う零点密度予想( $N(\sigma, T) \ll T^{2(1-\sigma)+\varepsilon}$ )に関しては、2024年にガースとメイナードが $\sigma = \tfrac{3}{4}$ における1940年以来のインガムの壁を破り、 $N(\sigma, T) \ll T^{\frac{30}{13}(1-\sigma)+o(1)}$ を証明する画期的突破を成し遂げた。

既知の最良の結果

無条件の点別評価: $\zeta(\tfrac{1}{2}+it) \ll t^{13/84+\varepsilon}$ 、ここで $\tfrac{13}{84} \approx 0.15476$ (ブルガン、2017年)。
リーマン予想のもとでの条件付き評価: $|\zeta(\tfrac{1}{2}+it)| \ll \exp\!\left(C \frac{\log t}{\log\log t}\right)$ (リトルウッド、1924年)。
密度予想に向けた零点密度評価: $N(\sigma, T) \ll T^{\frac{30}{13}(1-\sigma)+o(1)}$ (ガース、メイナード、2024年)。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
ボンビエリ–イヴァニエッツ法と $\ell^2$ デカップリング	近似関数等式を有理位相で近似された短い指数和に分割し、調和解析のデカップリングによって共鳴集合を評価することで $\mu(\tfrac{1}{2}) \le \tfrac{13}{84}$ に到達した。	$t \log n$ の局所的なテイラー近似は $n$ の短い区間での相殺しか捉えられず、 $0$ よりはるかに大きい正の指数の壁が残る。
ディリクレ多項式の大値評価(ガース–メイナード法)	時間・周波数行列の特異値を解析することでディリクレ多項式 $\sum_{n \sim N} a_n n^{-it}$ が大きな値をとる頻度を制御し、 $N(\sigma, T) \ll T^{\frac{30}{13}(1-\sigma)+o(1)}$ を証明した。	領域 $\sigma > \tfrac{1}{2}$ における平均的な零点密度を制御するものであり、臨界線 $\sigma = \tfrac{1}{2}$ 上の6次以上のモーメントや点別評価は直接与えない。

未解決の問い

6次モーメント評価 $\int_0^T |\zeta(\tfrac{1}{2}+it)|^6\,dt \ll T^{1+\varepsilon}$ を無条件に証明できるか。
リンデレーフ予想を経由せずに、すべての $\tfrac{1}{2} \le \sigma \le 1$ に対して密度予想 $N(\sigma, T) \ll T^{2(1-\sigma)+\varepsilon}$ を無条件に証明できるか。

参考文献

Ernst Lindelöf (1908). Quelques remarques sur la croissance de la fonction ζ(s)
E. C. Titchmarsh (1986). The Theory of the Riemann Zeta-Function (2nd ed., rev. by D. R. Heath-Brown)
Jean Bourgain (2017). Decoupling, exponential sums and the Riemann zeta function · DOI:10.1090/jams/860 · arXiv:1408.5794
Larry Guth, James Maynard (2024). New large value estimates for Dirichlet polynomials · arXiv:2405.20552