Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, Giải tích, nêu năm 1908

Giả thuyết Lindelöf

Còn mở

Với mọi $\varepsilon > 0$ , hàm zeta Riemann trên đường thẳng tới hạn thoả mãn $\zeta\!\left(\tfrac{1}{2} + it\right) = O(t^{\varepsilon})$ khi $t \to \infty$ ; tương đương, số mũ tăng trưởng $\mu(\sigma) = \inf\{a : \zeta(\sigma+it) = O(t^a)\}$ thoả mãn $\mu\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = 0$ .

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, giả thuyết Lindelöf vẫn còn để ngỏ. Chặn từng điểm vô điều kiện tốt nhất đã công bố trên đường thẳng tới hạn là ước lượng năm 2017 của Bourgain $\mu(\tfrac{1}{2}) \le \tfrac{13}{84} \approx 0.15476$ , thu được bằng cách đưa bất đẳng thức tách $\ell^2$ của Bourgain–Demeter vào phương pháp Bombieri–Iwaniec (cải thiện mức $\tfrac{32}{205} \approx 0.15610$ của Huxley). Đối với các mômen của $\zeta(\tfrac{1}{2}+it)$ , công thức tiệm cận baru chỉ biết vô điều kiện cho mômen bậc hai ( $2k=2$ ) và bậc bốn ( $2k=4$ ), trong khi ngay cả mômen bậc sáu ( $2k=6$ ) vẫn còn mở. Về hệ quả mật độ không điểm của giả thuyết Lindelöf (giả thuyết mật độ $N(\sigma, T) \ll T^{2(1-\sigma)+\varepsilon}$ ), Guth và Maynard đã đạt được bước đột phá lịch sử vào năm 2024 khi phá vỡ rào cản năm 1940 của Ingham tại $\sigma = \tfrac{3}{4}$ với $N(\sigma, T) \ll T^{\frac{30}{13}(1-\sigma)+o(1)}$ .

Kết quả tốt nhất đã biết

Chặn từng điểm vô điều kiện: $\zeta(\tfrac{1}{2}+it) \ll t^{13/84+\varepsilon}$ với $\tfrac{13}{84} \approx 0.15476$ (Bourgain, 2017).
Chặn có điều kiện dưới giả thuyết Riemann: $|\zeta(\tfrac{1}{2}+it)| \ll \exp\!\left(C \frac{\log t}{\log\log t}\right)$ (Littlewood, 1924).
Chặn mật độ không điểm hướng tới giả thuyết mật độ: $N(\sigma, T) \ll T^{\frac{30}{13}(1-\sigma)+o(1)}$ (Guth và Maynard, 2024).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Phương pháp Bombieri–Iwaniec và bất đẳng thức tách $\ell^2$	Chia phương trình hàm xấp xỉ thành các tổng mũ ngắn được xấp xỉ bởi pha hữu tỷ và chặn các tập cộng hưởng nhờ bất đẳng thức tách trong giải tích điều hoà, đạt $\mu(\tfrac{1}{2}) \le \tfrac{13}{84}$ .	Các xấp xỉ Taylor cục bộ của $t \log n$ chỉ nắm bắt được sự triệt tiêu trên các khoảng ngắn của $n$ , để lại một rào cản số mũ dương còn cách xa $0$ .
Ước lượng giá trị lớn cho đa thức Dirichlet (phương pháp Guth–Maynard)	Kiểm soát tần suất một đa thức Dirichlet $\sum_{n \sim N} a_n n^{-it}$ nhận giá trị lớn bằng cách phân tích các giá trị kỳ dị của ma trận thời gian–tần số nâng luỹ thừa, chứng minh $N(\sigma, T) \ll T^{\frac{30}{13}(1-\sigma)+o(1)}$ .	Chỉ kiểm soát mật độ không điểm trung bình trong dải $\sigma > \tfrac{1}{2}$ chứ chưa khống chế được các mômen bậc sáu trở lên hay giá trị từng điểm trên đường tới hạn $\sigma = \tfrac{1}{2}$ .

Câu hỏi còn mở

Có thể chứng minh vô điều kiện ước lượng mômen bậc sáu $\int_0^T |\zeta(\tfrac{1}{2}+it)|^6\,dt \ll T^{1+\varepsilon}$ hay không?
Có thể chứng minh giả thuyết mật độ vô điều kiện $N(\sigma, T) \ll T^{2(1-\sigma)+\varepsilon}$ với mọi $\tfrac{1}{2} \le \sigma \le 1$ mà không cần chứng minh giả thuyết Lindelöf trước hay không?

Tài liệu tham khảo

Ernst Lindelöf (1908). Quelques remarques sur la croissance de la fonction ζ(s)
E. C. Titchmarsh (1986). The Theory of the Riemann Zeta-Function (2nd ed., rev. by D. R. Heath-Brown)
Jean Bourgain (2017). Decoupling, exponential sums and the Riemann zeta function · DOI:10.1090/jams/860 · arXiv:1408.5794
Larry Guth, James Maynard (2024). New large value estimates for Dirichlet polynomials · arXiv:2405.20552