リトルウッド予想

既知の最良の結果

• アインジードラー、カトック、リンデンシュトラウス(2006年):リトルウッド予想に反する組 $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ の集合のハウスドルフ次元は $0$ である。
• キャッセルズとスウィナートン＝ダイアー(1955年):$1, \alpha, \beta$ が $\mathbb{Q}$ 上の三次体を張るとき、予想は常に成り立つ。

使われた手法と限界

未解決の問い

• $\mathrm{SL}(3, \mathbb{R})/\mathrm{SL}(3, \mathbb{Z})$ における対角群 $A$ のすべての有界軌道は周期的(コンパクト)であり、それによってリトルウッド予想が完全に導かれるか。
• すべての実数 $\alpha$ とすべての素数 $p$ に対して、$p$ 進リトルウッド予想 $\liminf_{n \to \infty} n \, |n|_p \, \|n\alpha\| = 0$ は成り立つか。