Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, nêu năm 1930

Giả thuyết Littlewood

Còn mở

Với mọi cặp số thực $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ , ta có $\liminf_{n \to \infty} n \, \|n\alpha\| \, \|n\beta\| = 0$ , trong đó $\|x\|$ ký hiệu khoảng cách từ $x$ tới số nguyên gần nhất.

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, giả thuyết Littlewood vẫn còn mở. Định lý bước ngoặt năm 2006 của Einsiedler, Katok và Lindenstrauss chứng minh rằng tập các cặp ngoại lệ $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ có số chiều Hausdorff bằng $0$ , nhờ tính cứng của độ đo đối với tác động đường chéo hạng cao trên $\mathrm{SL}(3, \mathbb{R})/\mathrm{SL}(3, \mathbb{Z})$ . Các nghiên cứu tiếp theo đã kiểm chứng giả thuyết khi $\alpha$ thuộc những tập fractal cụ thể (như tập Cantor khuyết chữ số) hoặc thỏa mãn điều kiện tăng trưởng phân số liên tục tường minh, đồng thời thiết lập các cận mật độ định lượng. Tuy nhiên, kỹ thuật độ đo cứng đòi hỏi entropy dương, nên vẫn chưa loại trừ được các quỹ đạo bị chặn phi đại số có entropy bằng không.

Kết quả tốt nhất đã biết

Einsiedler, Katok và Lindenstrauss (2006): tập các cặp $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ vi phạm giả thuyết Littlewood có số chiều Hausdorff bằng $0$ .
Cassels và Swinnerton-Dyer (1955): giả thuyết đúng khi $1, \alpha, \beta$ sinh ra một trường số bậc ba trên $\mathbb{Q}$ .

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Tính cứng của độ đo trên không gian thuần nhất ( $\mathrm{SL}(3, \mathbb{R})/\mathrm{SL}(3, \mathbb{Z})$ )	Phân loại các độ đo bất biến có entropy dương dưới tác động đường chéo và buộc tập ngoại lệ phải có số chiều Hausdorff bằng $0$	Không phân loại được các độ đo bất biến có entropy bằng $0$ , nên không loại trừ được từng quỹ đạo bị chặn riêng lẻ không mang độ đo entropy dương
Phân số liên tục và nhóm đơn vị trong trường số	Giải quyết giả thuyết khi $\alpha$ không phải số khó xấp xỉ hoặc khi $(\alpha, \beta)$ nằm trong một trường số bậc ba trên $\mathbb{Q}$	Ở số chiều cao không có thuật toán phân số liên tục tuần hoàn chính tắc cho cặp $(\alpha, \beta)$ tổng quát

Câu hỏi còn mở

Mọi quỹ đạo bị chặn của nhóm đường chéo $A$ trong $\mathrm{SL}(3, \mathbb{R})/\mathrm{SL}(3, \mathbb{Z})$ có phải đều tuần hoàn (compắc) — điều sẽ suy ra toàn bộ giả thuyết Littlewood — hay không?
Giả thuyết Littlewood $p$ -adic $\liminf_{n \to \infty} n \, |n|_p \, \|n\alpha\| = 0$ có đúng với mọi số thực $\alpha$ và mọi số nguyên tố $p$ hay không?

Tài liệu tham khảo

Manfred Einsiedler, Anatole Katok, Elon Lindenstrauss (2006). Invariant measures and the set of exceptions to Littlewood's conjecture · DOI:10.4007/annals.2006.164.513 · arXiv:math/0612721
J. W. S. Cassels, H. P. F. Swinnerton-Dyer (1955). On the product of three homogeneous linear forms and the indefinite ternary quadratic forms · DOI:10.1098/rsta.1955.0010
Manfred Einsiedler, Elon Lindenstrauss (2006). Open problems in dynamical diophantine approximation