Bài toán mở, Tổ hợp và Toán rời rạc, Số học và Lý thuyết số, nêu năm 1967

Giả thuyết người chạy cô đơn

Còn mở

Xét $n$ người chạy trên đường đua tròn có chu vi 1, tất cả xuất phát từ cùng một điểm tại thời điểm 0 và mỗi người chạy với tốc độ không đổi khác nhau. Một người chạy được gọi là cô đơn tại thời điểm $t$ nếu khoảng cách tròn từ người đó đến mọi người chạy khác đều ít nhất là $\frac{1}{n}$ . Giả thuyết khẳng định rằng mọi người chạy đều cô đơn tại một thời điểm $t > 0$ nào đó.

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, giả thuyết người chạy cô đơn vẫn còn để ngỏ với $n$ tổng quát. Một loạt các chứng minh có hỗ trợ máy tính đáng chú ý trong giai đoạn 2025–2026 đã mở rộng phạm vi đã xác nhận từ 7 người chạy (Barajas–Serra, 2008) lên đến 13 người chạy. Các đột phá chính là các bản thảo của Matthieu Rosenfeld (8 người chạy, arXiv:2509.14111; 9 người chạy, arXiv:2512.01912), Tanupat Trakulthongchai (9–10 người chạy, arXiv:2511.22427) và Sungkawichai–Trakulthongchai (11–13 người chạy, arXiv:2604.23906). Tất cả các chứng minh đều có hỗ trợ máy tính và dựa vào các kỹ thuật sàng. Không có chứng minh vô điều kiện nào cho $n$ tổng quát được biết đến.

Kết quả tốt nhất đã biết

Đã được xác nhận bằng chứng minh có hỗ trợ máy tính cho mọi $n \le 13$ người chạy (2026).
Với tốc độ tạo thành một cấp số cộng, hay tổng quát hơn với tốc độ trong một tập Bohr có mật độ bị chặn, giả thuyết được biết là đúng.

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Sàng có hỗ trợ máy tính / phân tích trường hợp đầy đủ	Chứng minh giả thuyết cho các giá trị nhỏ cụ thể của $n$ bằng cách xác nhận đầy đủ tất cả các cấu hình tốc độ lên đến đối xứng.	Không gian tìm kiếm tăng trưởng siêu hàm mũ theo $n$ , làm cho cách tiếp cận này không khả thi với $n$ lớn nếu không có sự hiểu biết cấu trúc mới về cơ bản.
Tập Bohr và tổ hợp cộng tính	Thiết lập các kết quả kiểu mật độ yếu hơn: giả thuyết đúng khi các tốc độ nằm trong các tập số học có cấu trúc với mật độ bị chặn.	Không thể ép buộc giả thuyết đúng với các tốc độ nguyên phân biệt tùy ý mà không có cấu trúc bổ sung.

Câu hỏi còn mở

Có chiến lược chứng minh đại số hoặc giải tích thống nhất nào xử lý được mọi $n$ mà không cần xác nhận bằng máy từng trường hợp không?
Giả thuyết có đúng khi các người chạy được phép có tốc độ thực (không nguyên) không, hay có thể xây dựng phản ví dụ cho tốc độ không nguyên?

Tài liệu tham khảo

Jordi Barajas, Oriol Serra (2008). The lonely runner with seven runners · DOI:10.37236/772
Matthieu Rosenfeld (2025). The lonely runner conjecture holds for eight runners · arXiv:2509.14111 [preprint, chưa bình duyệt]
Tanupat Trakulthongchai (2025). Nine and ten lonely runners · arXiv:2511.22427 [preprint, chưa bình duyệt]
Touch Sungkawichai, Tanupat Trakulthongchai (2026). Eleven, twelve, and thirteen lonely runners · arXiv:2604.23906 [preprint, chưa bình duyệt]
Bela Bajnok (2007). The Lonely Runner Problem