MathLabs

Bài toán mở, Hình học, Toán ứng dụng và Tính toán, nêu năm 1966

Bài toán chuyển ghế sofa

Còn mở

Xác định cận trên đúng AA (hằng số sofa) của diện tích một miền phẳng liên thông S⊂R2S \subset \mathbb{R}^2 có thể di chuyển liên tục bằng các phép dời hình cứng (tịnh tiến và quay) qua một góc vuông trong hành lang hình chữ L có bề rộng đơn vị bằng 11.

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, bài toán chuyển ghế sofa được giới toán học xem là đang tiến rất gần tới lời giải trọn vẹn sau bản preprint dài 119 trang Optimality of Gerver's Sofa (`arXiv:2411.19826`) công bố tháng 11 năm 2024 của Jineon Baek, hiện đang trong quá trình bình duyệt chính thức. Trước bản thảo của Baek, các cận đã qua bình duyệt tốt nhất là cận dưới AG≈2.2195316688A_G \approx 2.2195316688 của Joseph Gerver (1992) và cận trên có máy tính hỗ trợ A≤2.37A \le 2.37 của Yoav Kallus và Dan Romik (2018). Chứng minh của Baek hoàn toàn bằng giải tích: thiết lập rằng mọi sofa tối ưu phải là sofa đơn điệu với tổng góc quay π/2\pi/2, chứng minh điều kiện đơn ánh trên hình bao của các hành lang, chặn trên diện tích bằng phiếm hàm bậc hai Q(S)Q(S) nhờ định lý Green, rồi dùng lý thuyết Brunn–Minkowski để chỉ ra rằng Q(S)Q(S) đạt cực đại duy nhất tại sofa của Gerver.

Kết quả tốt nhất đã biết

  • Chiếc sofa giải tích 18 đoạn của Gerver cho cận dưới đã qua bình duyệt A≥AG≈2.2195316688A \ge A_G \approx 2.2195316688 (Gerver, 1992).
  • Kallus và Romik (2018) chứng minh cận trên đã qua bình duyệt A≤2.37A \le 2.37, trong khi preprint năm 2024 của Jineon Baek (`arXiv:2411.19826`) chứng minh đẳng thức chặt A=AG≈2.2195316688A = A_G \approx 2.2195316688.

Công cụ và chỗ dừng

Công cụĐạt đượcChỗ dừng
Phương trình vi phân hình bao và biến phân diện tích địa phương (Gerver, Romik)Đặc trưng hóa các hình dừng diện tích địa phương như phần giao của các hành lang quay và cho ra các đường cong giải tích tường minh cho sofa của Gerver cũng như sofa thuận hai chiều của Romik.Các điều kiện biến phân địa phương tự thân không thể loại trừ sự tồn tại của một kiểu tiếp xúc tô pô khác hoặc một quỹ đạo quay không đơn điệu có diện tích lớn hơn.
Điều kiện đơn ánh và tính lõm Brunn–Minkowski (Baek, preprint 2024)Chặn trên diện tích của mọi sofa đơn điệu bằng một phiếm hàm bậc hai Q(S)Q(S) tính qua định lý Green trên một đường cong Jordan bao ngoài, từ đó chỉ ra Q(S)≤AGQ(S) \le A_G.Đang chờ hoàn tất quá trình bình duyệt tạp chí, đồng thời chưa giải quyết bài toán sofa thuận hai chiều của Conway nơi hình phẳng phải rẽ được cả góc trái lẫn góc phải.

Câu hỏi còn mở

  • Liệu chiếc sofa đại số diện tích ≈1.644955\approx 1.644955 năm 2018 của Dan Romik có phải là cực đại toàn cục duy nhất cho bài toán sofa thuận hai chiều của Conway hay không?

Tài liệu tham khảo

  1. Jineon Baek (2024). Optimality of Gerver's Sofa · arXiv:2411.19826 [preprint, chưa bình duyệt]
  2. Joseph L. Gerver (1992). On moving a sofa around a corner · DOI:10.1007/BF00181553
  3. Yoav Kallus, Dan Romik (2018). Improved upper bounds in the moving sofa problem · DOI:10.1016/j.aim.2018.10.022 · arXiv:1706.06630
  4. Dan Romik (2018). Differential equations and exact solutions in the moving sofa problem · DOI:10.1080/10586458.2016.1270858 · arXiv:1606.08111