Số hoàn hảo lẻ

Tính đến năm 2026, chưa một số hoàn hảo lẻ nào được tìm thấy, và việc nó có thể tồn tại hay không vẫn còn để ngỏ. Thay vì một chứng minh trực tiếp cho sự không tồn tại, các nhà toán học đã thiết lập một mạng lưới dày đặc các điều kiện cần mà bất kỳ số hoàn hảo lẻ giả định $N$ nào cũng phải thỏa mãn: theo định lý Euler, $N = q^k m^2$ trong đó $q$ là số nguyên tố thỏa mãn $q \equiv k \equiv 1 \pmod{4}$ và $\gcd(q, m) = 1$; $N > 10^{1500}$ và tổng số ước nguyên tố tính cả bội là $\Omega(N) \ge 101$ (Ochem–Rao, 2012); $N$ có ít nhất $\omega(N) \ge 10$ ước nguyên tố phân biệt, và $\omega(N) \ge 15$ nếu $3 \nmid N$ (Nielsen, 2015); ước nguyên tố lớn nhất của nó vượt quá $10^8$ (Goto–Ohno, 2008), ước nguyên tố lớn thứ hai vượt quá $10^4$, và thành phần lũy thừa nguyên tố lớn nhất vượt quá $10^{62}$. Tuy nhiên, các phân tích đa thức chia đường tròn của $\sigma(p^a) = \prod_{d \mid (a+1), d>1} \Phi_d(p)$ cũng áp dụng y hệt cho các phân tích 'giả' (spoof) nơi một thừa số nguyên tố bị thay bằng hợp số giả nguyên tố, và vì số giả $198585576189$ của Descartes thực sự tồn tại, các dây chuyền chia hết thuần túy cục bộ vấp phải một rào cản số giả trừ phi khai thác được tính chất toàn cục sâu hơn của số nguyên tố.