Math Labs

Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, nêu năm 1734

Tính vô tỉ của ζ(5) và các giá trị hàm zeta tại số lẻ

Còn mở

Giá trị ζ(5)=∑n=1∞1n5\zeta(5) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5} có phải là số vô tỉ hay không? Tổng quát hơn, ζ(2k+1)\zeta(2k+1) có phải là số vô tỉ (và siêu việt) với mọi số nguyên k≥2k \ge 2 hay không?

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, ζ(3)\zeta(3) vẫn là giá trị hàm zeta tại số lẻ cụ thể duy nhất được chứng minh là vô tỉ, và vẫn chưa biết ζ(3)\zeta(3) có siêu việt hay ζ(5)\zeta(5) có vô tỉ hay không. Các cải tiến của cách dựng chuỗi siêu bội Ball–Rivoal và Zudilin, kết hợp với kỹ thuật khử Fischler–Sprang–Zudilin (2019), đã cho các cận dưới tường minh về số lượng số vô tỉ trong dãy ζ(3),ζ(5),…,ζ(2s+1)\zeta(3), \zeta(5), \dots, \zeta(2s+1) (chẳng hạn có ít nhất 22 số vô tỉ trong ζ(3),ζ(5),ζ(7),ζ(9),ζ(11)\zeta(3), \zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)), nhưng chưa có cách dựng dạng tuyến tính nào triệt tiêu được ζ(7),ζ(9),ζ(11)\zeta(7), \zeta(9), \zeta(11) mà vẫn giữ mẫu số đủ nhỏ để cô lập riêng ζ(5)\zeta(5).

Kết quả tốt nhất đã biết

  • Ball và Rivoal (2001): với số lẻ a≥3a \ge 3, không gian tuyến tính trên Q\mathbb{Q} sinh bởi 1,ζ(3),ζ(5),…,ζ(a)1, \zeta(3), \zeta(5), \dots, \zeta(a) có số chiều ít nhất là 1+o(1)1+ln⁡2ln⁡a\frac{1+o(1)}{1+\ln 2} \ln a.
  • Zudilin (2001): ít nhất một trong bốn số ζ(5),ζ(7),ζ(9),ζ(11)\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11) là số vô tỉ.
  • Fischler, Sprang và Zudilin (2019): trong dãy ζ(3),ζ(5),…,ζ(2s+1)\zeta(3), \zeta(5), \dots, \zeta(2s+1), có ít nhất 2(1−o(1))ln⁡sln⁡ln⁡s2^{(1-o(1)) \frac{\ln s}{\ln \ln s}} giá trị là số vô tỉ.

Công cụ và chỗ dừng

Công cụĐạt đượcChỗ dừng
Chuỗi siêu bội cân bằng và tiêu chuẩn độc lập tuyến tính Nesterenko (Ball–Rivoal–Zudilin)Tạo các dạng tuyến tính nhỏ của 1,ζ(3),ζ(5),…,ζ(2s+1)1, \zeta(3), \zeta(5), \dots, \zeta(2s+1) với mẫu số chung kiểm soát được cỡ lcm(1,2,…,n)d\mathrm{lcm}(1, 2, \dots, n)^d, chứng minh cận dưới số chiều và định lý bốn giá trị của ZudilinTính đối xứng của hàm hữu tỉ cần để triệt tiêu ζ(2),ζ(4),…\zeta(2), \zeta(4), \dots buộc số mũ dd (và do đó tốc độ tăng mẫu số edne^{dn}) vượt quá tốc độ suy giảm giải tích khi chỉ giữ lại 11 và ζ(5)\zeta(5)
Định thức Hankel và phương pháp môđun chỉnh hình / Padé (Apéry–Beukers)Giải thích hệ thức truy hồi Apéry cho ζ(2)\zeta(2) và ζ(3)\zeta(3) thông qua tích phân bội ba và dạng môđun trọng số 22 và 44Với ζ(5)\zeta(5), các tích phân bội 55 kiểu Beukers tự nhiên có mẫu số số học lcm(1,…,n)5\mathrm{lcm}(1, \dots, n)^5 tăng nhanh hơn tốc độ hội tụ hình học của tích phân

Câu hỏi còn mở

  • Giá trị ζ(5)\zeta(5) có phải là số vô tỉ hay không?
  • Các số 1,π,ζ(3),ζ(5),ζ(7),…1, \pi, \zeta(3), \zeta(5), \zeta(7), \dots có độc lập đại số trên Q\mathbb{Q} hay không?

Tài liệu tham khảo

  1. Roger Apéry (1979). Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)
  2. Keith Ball, Tanguy Rivoal (2001). Irrationalité d'une infinité de valeurs de la fonction zêta aux entiers impairs · DOI:10.1007/s002220100168
  3. Wadim Zudilin (2001). One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational · DOI:10.1070/RM2001v056n04ABEH000427
  4. Stéphane Fischler, Johannes Sprang, Wadim Zudilin (2019). Many odd zeta values are irrational · DOI:10.1112/S0010437X1900722X · arXiv:1803.08905