未解決問題、算術と数論, 代数学、1966年に提起

シャヌエルの予想

未解決

複素数 $z_1, z_2, \dots, z_n \in \mathbb{C}$ が $\mathbb{Q}$ 上一次独立であるならば、体拡大 $\mathbb{Q}(z_1, \dots, z_n, e^{z_1}, \dots, e^{z_n})$ の $\mathbb{Q}$ 上の超越次数は少なくとも $n$ である。

研究の最前線 2026年時点

2026年現在、シャヌエルの予想はすべての $n \ge 2$ に対して未解決である。関数類似(アックスの定理、1971年)は完全に証明され、志村多様体や o-極小幾何学へと拡張されてアンドレ–オールト予想やジルベル–ピンク予想における飛躍的進展を支えているが、 $\mathbb{Q}$ 上の数論的予想ははるか手の届かないところにある。 $e^{z_1}, \dots, e^{z_n}$ が代数的数であるとき、ベイカーの定理(1966年)は $z_1, \dots, z_n$ の $\overline{\mathbb{Q}}$ 上の一次独立性(すなわち超越次数 $\ge 1$ )を保証するが、シャヌエルの予想は $z_1, \dots, z_n$ の代数的独立性(超越次数 $n$ )を要求しており、 $n = 2$ の乗法的帰結である四指数予想さえ未解決のままである。

既知の最良の結果

リンデマン–ワイエルシュトラスの定理(1882/1885年): $z_1, \dots, z_n \in \overline{\mathbb{Q}}$ が代数的数であるとき、シャヌエルの予想は常に成り立つ。
六指数定理(ラング、ラマチャンドラ、1960年代): $x_1, x_2$ および $y_1, y_2, y_3$ がそれぞれ $\mathbb{Q}$ 上一次独立ならば、6つの数 $e^{x_i y_j}$ のうち少なくとも1つは超越数である。
アックスの定理(1971年):形式べき級数 $y_1, \dots, y_n \in \mathbb{C}[[t_1, \dots, t_m]]$ に対して、シャヌエルの予想の微分体類似が成り立つ。

使われた手法と限界

手法	達成したこと	限界
補助多項式・補間行列式・重複度評価(ベイカー–ワルドシュミット–フィリポン)	ベイカーの定理、六指数定理、および指数値 $e^{x_i y_j}$ が生成する体の超越次数の下界( $\frac{mn}{m+n}$ のオーダー)を証明する	ジーゲルの補題における次数と高さのバランスからは $n$ ではなく $\frac{mn}{m+n}$ に比例する超越次数の評価しか得られず、四指数予想( $m = n = 2$ )にさえ届かない
微分代数と o-極小幾何学(アックス–シャヌエルの手法)	微分 $\partial (e^y) = e^y \partial y$ が基礎体 $\mathbb{C}$ 上の微分作用素を与えるため、関数やべき級数に対してシャヌエルの不等式を完全に証明する	有理数体 $\mathbb{Q}$ 上には自明な微分作用素 $\partial = 0$ しか存在しないため、微分代数的証明を複素数の値 $z_i \in \mathbb{C}$ に特殊化することができない

未解決の問い

$n = 2$ に対してシャヌエルの予想は成り立つか。特に、 $\ln 2$ と $\ln 3$ は $\mathbb{Q}$ 上代数的独立であるか。
四指数予想は成り立つか。すなわち、 $x_1, x_2$ と $y_1, y_2$ がそれぞれ $\mathbb{Q}$ 上一次独立であるとき、4つの数 $e^{x_i y_j}$ のうち少なくとも1つは超越数であるか。

参考文献

Serge Lang (1966). Introduction to Transcendental Numbers
James Ax (1971). On Schanuel's conjectures · DOI:10.2307/1970774
Michel Waldschmidt (2000). Diophantine Approximation on Linear Algebraic Groups · DOI:10.1007/978-3-662-11569-5