Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, Đại số, nêu năm 1966

Giả thuyết Schanuel

Còn mở

Nếu $z_1, z_2, \dots, z_n \in \mathbb{C}$ độc lập tuyến tính trên $\mathbb{Q}$ , thì mở rộng trường $\mathbb{Q}(z_1, \dots, z_n, e^{z_1}, \dots, e^{z_n})$ có bậc siêu việt ít nhất là $n$ trên $\mathbb{Q}$ .

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, giả thuyết Schanuel vẫn còn mở với mọi $n \ge 2$ . Dù phiên bản hàm (định lý Ax, 1971) đã được chứng minh trọn vẹn và được mở rộng sang đa tạp Shimura cùng hình học o-cực tiểu (nơi các định lý kiểu Ax–Schanuel tạo đột phá cho giả thuyết André–Oort và Zilber–Pink), giả thuyết số học trên $\mathbb{Q}$ vẫn nằm ngoài tầm với. Khi $e^{z_1}, \dots, e^{z_n}$ là số đại số, định lý Baker (1966) chứng minh tính độc lập tuyến tính của $z_1, \dots, z_n$ trên $\overline{\mathbb{Q}}$ , tức bậc siêu việt $\ge 1$ , trong khi giả thuyết Schanuel đòi hỏi tính độc lập đại số của $z_1, \dots, z_n$ (bậc siêu việt bằng $n$ ); ngay cả giả thuyết bốn hàm mũ (một hệ quả nhân ở $n = 2$ ) cũng vẫn còn mở.

Kết quả tốt nhất đã biết

Định lý Lindemann–Weierstrass (1882/1885): giả thuyết Schanuel đúng khi $z_1, \dots, z_n \in \overline{\mathbb{Q}}$ là các số đại số.
Định lý sáu hàm mũ (Lang, Ramachandra thập niên 1960): nếu $x_1, x_2$ và $y_1, y_2, y_3$ lần lượt độc lập tuyến tính trên $\mathbb{Q}$ , thì ít nhất một trong sáu số $e^{x_i y_j}$ là số siêu việt.
Định lý Ax (1971): phiên bản trường vi phân của giả thuyết Schanuel đúng cho các chuỗi lũy thừa hình thức $y_1, \dots, y_n \in \mathbb{C}[[t_1, \dots, t_m]]$ .

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Đa thức phụ, định thức nội suy và ước lượng bội không điểm (Baker–Waldschmidt–Philippon)	Chứng minh định lý Baker, định lý sáu hàm mũ và các cận dưới cho bậc siêu việt của trường sinh bởi các hàm mũ $e^{x_i y_j}$ (tăng theo tỷ lệ $\frac{mn}{m+n}$ )	Sự cân bằng giữa bậc và chiều cao trong bổ đề Siegel chỉ cho cận bậc siêu việt tỷ lệ với $\frac{mn}{m+n}$ thay vì $n$ , chưa đủ để chứng minh ngay cả giả thuyết bốn hàm mũ ( $m = n = 2$ )
Đại số vi phân và hình học o-cực tiểu (phương pháp Ax–Schanuel)	Chứng minh bất đẳng thức Schanuel trọn vẹn cho hàm và chuỗi lũy thừa nhờ phép đạo hàm $\partial (e^y) = e^y \partial y$ cung cấp một đạo hàm trên trường cơ sở $\mathbb{C}$	Trường số hữu tỉ $\mathbb{Q}$ chỉ có đạo hàm tầm thường $\partial = 0$ , nên các chứng minh đại số vi phân không thể chuyên biệt hóa xuống các số phức $z_i \in \mathbb{C}$

Câu hỏi còn mở

Giả thuyết Schanuel có đúng với $n = 2$ , và cụ thể hơn, $\ln 2$ và $\ln 3$ có độc lập đại số trên $\mathbb{Q}$ hay không?
Giả thuyết bốn hàm mũ có đúng không: nếu $x_1, x_2$ và $y_1, y_2$ lần lượt độc lập tuyến tính trên $\mathbb{Q}$ , phải chăng ít nhất một trong bốn số $e^{x_i y_j}$ là số siêu việt?

Tài liệu tham khảo

Serge Lang (1966). Introduction to Transcendental Numbers
James Ax (1971). On Schanuel's conjectures · DOI:10.2307/1970774
Michel Waldschmidt (2000). Diophantine Approximation on Linear Algebraic Groups · DOI:10.1007/978-3-662-11569-5