Sự vô hạn của số nguyên tố Sophie Germain

Tính đến năm 2026, sự vô hạn của số nguyên tố Sophie Germain vẫn hoàn toàn để ngỏ. Giống như giả thuyết số nguyên tố sinh đôi, bài toán hỏi về các giá trị nguyên tố đồng thời của hai dạng tuyến tính ($n$ và $2n+1$). Các phương pháp sàng có trọng số chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố $p$ sao cho $2p+1$ là một số hầu nguyên tố có nhiều nhất hai thừa số nguyên tố ($P_2$), và tổng nghịch đảo của các số nguyên tố Sophie Germain hội tụ. Tuy nhiên, rào cản chẵn lẻ trong lý thuyết sàng ngăn cản các phương pháp hiện có phân biệt số nguyên tố với tích của hai số nguyên tố trong $2p+1$. Hơn nữa, vì hai dạng tuyến tính $n$ và $2n+1$ có hệ số bậc cao nhất khác nhau, bộ máy khoảng cách bị chặn Maynard–Tao không trực tiếp cho các cặp số nguyên tố có dạng chính xác $(p, 2p+1)$.