ヤン–ミルズ方程式と質量ギャップ問題

2026年現在、4次元ヤン–ミルズ方程式の存在と質量ギャップ問題は未解決のままである。紫外(短距離)側では、1980年代のタデウシュ・バラバンによるくりこみ群のプログラムが、格子間隔 $a \to 0$ の極限における有限4次元格子トーラス上の有効作用に対する一様評価を確立しており、また正則性構造やパラ制御計算を用いた現代の確率量子化(ハイラー、チャンドラ、チェヴィレフ、シェン)が2次元および3次元ゲージ場の局所ランジュバン力学を明快に構成している。赤外(長距離)側では、ウィルソンの格子ゲージ理論が強結合領域(裸の結合定数 $g$ が大きい領域)において相関の指数関数的減衰(すなわち質量ギャップ)とウィルソン・ループの面積則の厳密な証明を与えている。欠けているのはこの両者をつなぐ橋である。連続極限 $a \to 0$ を取るには漸近的自由性により裸の結合定数を $g(a) \to 0$ へと送る必要があり、これはクラスター展開が収束する強結合領域から外れてしまうため、4次元において弱結合から強結合へのクロスオーバーを越えて赤外領域の振る舞いを厳密に制御する手法はまだ得られていない。