Định lý bất khả Arrow
Phát biểu
Với ba phương án trở lên, không có hàm phúc lợi xã hội nào tổng hợp các thứ tự ưu tiên đầy đủ, bắc cầu của từng cá nhân thành một thứ tự tập thể duy nhất mà đồng thời thỏa mãn: miền không hạn chế (áp dụng cho mọi hồ sơ ưu tiên cá nhân), hiệu quả Pareto (nếu mọi cử tri thích hơn thì xã hội cũng vậy), độc lập với các phương án không liên quan (thứ tự so với của xã hội chỉ phụ thuộc thứ tự so với của từng cá nhân), và không độc tài (không có cử tri nào có ưu tiên luôn quyết định thứ tự của xã hội).
Vì sao đúng?
Cảm giác rằng bỏ phiếu có thể biến các thứ tự trung thực của mọi người thành một thứ tự tập thể công bằng duy nhất. Định lý Arrow cho thấy điều đó là ảo tưởng khi có từ ba phương án trở lên: bất kỳ quy tắc nào không cho phép một cử tri duy nhất quyết định kết quả, và chỉ dùng ý kiến về so với để xếp hạng so với , đều có thể bị một tổ hợp ưu tiên hợp lý của từng cá nhân đẩy tới chỗ tạo ra thứ tự tập thể bị vòng lặp hoặc mất tính nhất quán.
Phác thảo chứng minh
Một chứng minh chuẩn (lập luận 'cử tri then chốt') xuất phát từ hồ sơ mà mọi người xếp ở cuối; theo Pareto, xã hội cũng xếp ở cuối. Lần lượt đưa lên đầu thứ tự của từng cử tri, sẽ có một cử tri 'then chốt': người đầu tiên mà sự thay đổi của họ làm thứ tự xã hội của chuyển từ cuối sang không cuối. Dùng tính độc lập với phương án không liên quan và các thao tác hồ sơ tiếp theo, ta chỉ ra cử tri then chốt này trên thực tế là độc tài với mọi cặp phương án, mâu thuẫn với tính không độc tài — trừ khi một trong các tiên đề bị vi phạm.
Chủ đề chứa định lý này
Chứng minh từng bước
Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.
Tài liệu tham khảo
- Kenneth J. Arrow (1951). Social Choice and Individual Values
- Kenneth J. Arrow, Amartya K. Sen, Kotaro Suzumura (eds.) (2002). Handbook of Social Choice and Welfare, Vol. 1