Bao hàm và loại trừ tổng quát

Cố định một phần tử bất kỳ $x$. Nếu $x$ không thuộc tập nào trong $A_1,\ldots,A_n$, nó đóng góp $0$ cho cả hai vế, nên giả sử $x$ thuộc đúng $m\ge 1$ tập.

Với mỗi $k$, số giao $k$ tập $A_{i_1}\cap\cdots\cap A_{i_k}$ chứa $x$ bằng số cách chọn $k$ trong $m$ tập chứa $x$, tức là $\binom{m}{k}$. Vậy tổng đóng góp của $x$ vào vế phải là $\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\binom{m}{k}=\sum_{k=1}^m(-1)^{k+1}\binom{m}{k}$ (các số hạng với $k>m$ triệt tiêu vì $\binom{m}{k}=0$).

Theo định lý nhị thức, $\sum_{k=0}^m(-1)^k\binom{m}{k}=(1-1)^m=0$, nên $\sum_{k=1}^m(-1)^k\binom{m}{k}=-1$, nhân với $-1$ cho đúng $\sum_{k=1}^m(-1)^{k+1}\binom{m}{k}=1$.

Vậy mọi phần tử thuộc ít nhất một tập đóng góp đúng $1$ vào vế phải, khớp với đóng góp $1$ của nó vào $\left|\bigcup_{i=1}^n A_i\right|$; phần tử không thuộc tập nào đóng góp $0$ cho cả hai vế. Vì mọi phần tử đóng góp như nhau cho cả hai vế, hai vế bằng nhau.