Định lý Bayes cho phân phối hậu nghiệm

Mật độ đồng thời của $(\theta,x)$ phân tích theo hai cách: thành $\pi(\theta)L(x\mid\theta)$ (tiên nghiệm nhân hàm hợp lý, theo định nghĩa hàm hợp lý là mật độ điều kiện của $x$ cho trước $\theta$) và thành $\pi(\theta\mid x)m(x)$ (hậu nghiệm nhân mật độ biên của $x$, theo định nghĩa hậu nghiệm là mật độ điều kiện của $\theta$ cho trước $x$). Vì cả hai biểu thức đều bằng cùng một mật độ đồng thời, $\pi(\theta)L(x\mid\theta)=\pi(\theta\mid x)m(x)$.

Giải ra $\pi(\theta\mid x)$ cho $\pi(\theta\mid x)=\dfrac{L(x\mid\theta)\pi(\theta)}{m(x)}$, với điều kiện $m(x)>0$.

Còn lại cần kiểm tra $m(x)=\int L(x\mid\theta')\pi(\theta')\,d\theta'$ đúng là hằng số chuẩn hóa: lấy tích phân cả hai vế của phân tích $\pi(\theta)L(x\mid\theta)=\pi(\theta\mid x)m(x)$ theo $\theta$, vế trái trở thành $\int \pi(\theta)L(x\mid\theta)\,d\theta=m(x)$ theo định nghĩa, và vế phải trở thành $m(x)\int\pi(\theta\mid x)\,d\theta=m(x)\times1$ vì $\pi(\cdot\mid x)$ là mật độ xác suất. Cả hai vế khớp nhau, xác nhận $m(x)$ nhất quán và $\pi(\theta\mid x)$ tích phân bằng $1$ như yêu cầu của một mật độ.