Tính liên hợp Beta-Nhị thức

Hàm hợp lý quan sát $k$ thành công trong $n$ phép thử cho trước $\theta$ là $L(k\mid\theta)=\binom{n}{k}\theta^k(1-\theta)^{n-k}$. Theo định lý tỉ lệ hậu nghiệm ở trên, $\pi(\theta\mid k)\propto L(k\mid\theta)\pi(\theta)=\binom{n}{k}\theta^k(1-\theta)^{n-k}\cdot\dfrac{\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$.

Các thừa số $\binom{n}{k}$ và $B(\alpha,\beta)$ không phụ thuộc $\theta$, nên có thể gộp vào hệ số tỉ lệ: $\pi(\theta\mid k)\propto\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}\cdot\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}=\theta^{(\alpha+k)-1}(1-\theta)^{(\beta+n-k)-1}$.

Biểu thức cuối này chính là hạt nhân (phần phụ thuộc $\theta$) của mật độ $\mathrm{Beta}(\alpha+k,\beta+n-k)$. Vì một mật độ xác suất trên $(0,1)$ với hạt nhân này có hằng số chuẩn hóa duy nhất (chính là $1/B(\alpha+k,\beta+n-k)$, theo định nghĩa hàm Beta), hậu nghiệm phải chính xác là $\pi(\theta\mid k)=\dfrac{\theta^{(\alpha+k)-1}(1-\theta)^{(\beta+n-k)-1}}{B(\alpha+k,\beta+n-k)}$, tức $\theta\mid k\sim\mathrm{Beta}(\alpha+k,\beta+n-k)$.