Tồn tại $a,b$ vô tỉ với $a^b$ hữu tỉ — Cổ điển và Cấu trúc

Chứng minh cổ điển (phi cấu trúc). Xét $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$. Theo luật bài trung, hoặc $\sqrt{2}^{\sqrt{2}} \in \mathbb{Q}$ hoặc $\sqrt{2}^{\sqrt{2}} \notin \mathbb{Q}$ — ta không cần biết cái nào đúng.

Trường hợp 1: nếu $\sqrt{2}^{\sqrt{2}} \in \mathbb{Q}$, lấy $a = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}, b = \sqrt{2}$: cả hai đều vô tỉ ($\sqrt{2}$ vô tỉ theo chứng minh phản chứng cổ điển về tính chẵn lẻ của $p,q$ trong $p/q=\sqrt 2$), và $a^b = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ hữu tỉ theo giả thiết trường hợp này. Xong.

Trường hợp 2: nếu $\sqrt{2}^{\sqrt{2}} \notin \mathbb{Q}$, lấy $a = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ (vô tỉ theo giả thiết trường hợp này) và $b = \sqrt{2}$ (vô tỉ). Khi đó $a^b = 2$: $a^b = (\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{2} = 2$. Vì $2 \in \mathbb{Q}$, xong.

Dù trường hợp nào ta cũng đã chỉ ra $a,b$ vô tỉ với $a^b \in \mathbb{Q}$ — nhưng chứng minh không bao giờ cho biết trường hợp nào đúng, tức $\sqrt{2}^{\sqrt 2}$ hữu tỉ hay vô tỉ. Người Hình thức luận chấp nhận ngay (đây là dẫn xuất hợp lệ trong logic cổ điển bậc nhất); người Trực giác luận bác bỏ đây là chứng minh tồn tại thực sự vì nó không tạo ra một cặp $(a,b)$ tường minh duy nhất kèm chứng minh rằng chính cặp đó hoạt động.

Chứng minh cấu trúc (loại bỏ chia trường hợp). Lấy $a = \sqrt{2}$ và $b = \log_2 9$. Cả hai đều vô tỉ: $\sqrt 2$ vô tỉ như trên; $\log_2 9$ vô tỉ vì nếu $\log_2 9 = p/q$ tối giản với $q>0$ thì $2^{p/q}=9$, nên $2^p = 9^q$, nhưng vế trái là lũy thừa của $2$ còn vế phải là lũy thừa của $3$ (với $q \ge 1$, $9^q$ chỉ có ước nguyên tố $3$), buộc $p=q=0$, mâu thuẫn với $9^q=2^p>1$.

Bây giờ tính tường minh: $a^b = \sqrt{2}^{\log_2 9} = 2^{\frac{1}{2}\log_2 9} = 2^{\log_2 3} = 3$, dùng $\sqrt{2} = 2^{1/2}$, nên $a = \sqrt{2}, b = \log_2 9$ cho $a^b = (2^{1/2})^{\log_2 9} = 2^{\frac{1}{2}\log_2 9} = 2^{\log_2 3} = 3 \in \mathbb{Q}$.

Lần này không chia trường hợp, không có tuyển chưa giải quyết — câu hỏi mở ban đầu của Chứng minh 1 (là $\sqrt2^{\sqrt2}$ hữu tỉ hay không?) hoàn toàn bị bỏ qua, và người Trực giác luận chấp nhận cặp $(\sqrt{2}, \log_2 9)$ là chứng cứ thực sự. (Chú thích lịch sử: Gelfond–Schneider (1934) sau đó chứng minh $\sqrt{2}^{\sqrt 2}$ thực ra vô tỉ — thậm chí siêu việt — giải quyết Trường hợp 2 là "đúng", nhưng chứng minh cổ điển ở trên không cần định lý sâu sắc đó.)