Định luật hai Kepler (diện tích bằng nhau trong thời gian bằng nhau)

Định nghĩa $\mathbf h = \mathbf r\times\dot{\mathbf r}$. Đạo hàm, $\dot{\mathbf h} = \dot{\mathbf r}\times\dot{\mathbf r} + \mathbf r\times\ddot{\mathbf r} = \mathbf 0 + \mathbf r\times\ddot{\mathbf r}$ (số hạng đầu triệt tiêu vì một vectơ nhân có hướng với chính nó luôn bằng không). Với lực xuyên tâm, $\ddot{\mathbf r}$ song song với $\mathbf r$ — viết $\ddot{\mathbf r} = f(r)\hat{\mathbf r}$ với hàm vô hướng $f$ nào đó — nên $\mathbf r\times\ddot{\mathbf r} = f(r)\,\mathbf r\times\hat{\mathbf r} = \mathbf 0$ luôn. Vậy $\dot{\mathbf h} = \mathbf r\times\ddot{\mathbf r} = -\dfrac{GM}{r^{3}}(\mathbf r\times\mathbf r) = \mathbf 0$: $\mathbf h$ là một vectơ cố định, không đổi cả về độ lớn lẫn hướng.

Vì $\mathbf h$ có hướng cố định và $\mathbf h = \mathbf r\times\dot{\mathbf r}$ luôn vuông góc với $\mathbf r$, vectơ vị trí $\mathbf r$ mãi mãi bị giới hạn trong một mặt phẳng cố định duy nhất vuông góc với $\mathbf h$ — chuyển động là phẳng. Thiết lập tọa độ cực $(r,\theta)$ trong mặt phẳng đó. Viết $\mathbf r = r\hat{\mathbf r}$ và $\dot{\mathbf r} = \dot r\hat{\mathbf r} + r\dot\theta\hat{\boldsymbol\theta}$, tích có hướng cho $\mathbf h = r\hat{\mathbf r}\times(\dot r\hat{\mathbf r}+r\dot\theta\hat{\boldsymbol\theta}) = r^{2}\dot\theta\,\hat{\mathbf z}$, nên đại lượng vô hướng $h=r^{2}\dot\theta$ tự nó không đổi.

Trong thời gian $dt$, vectơ bán kính quét một hình quạt mỏng gần như tam giác có diện tích $dA = \tfrac12 r\cdot(r\,d\theta) = \tfrac12 r^{2}\,d\theta$ (đáy $r\,d\theta$, chiều cao $r$, hệ số $\tfrac12$ của tam giác). Chia cho $dt$ cho đúng $\dfrac{dA}{dt} = \dfrac12 r^{2}\dot\theta = \dfrac{h}{2}$. Vì $h$ không đổi, tốc độ quét diện tích $dA/dt$ không đổi theo thời gian — diện tích bằng nhau được quét trong thời gian bằng nhau, chứng minh xong định luật hai Kepler. $\blacksquare$