Định luật ba Kepler

Theo Định lý 1, tốc độ quét diện tích $dA/dt=h/2$ không đổi, nên lấy tích phân trên một chu kỳ đầy đủ $T$ cho tổng diện tích bao quanh $A = \tfrac{h}{2}T$. Với elip bán trục lớn $a$ và bán trục nhỏ $b$, hình học cho $A=\pi ab$. Cân bằng hai biểu thức: $A = \pi a b = \dfrac{h}{2}T$.

Tiếp theo, liên hệ $h$ với hình dạng qua phương trình Binet: bán trực thông của quỹ đạo là $p=h^{2}/GM$, và với elip có các hệ thức chuẩn $b=a\sqrt{1-e^{2}}$ và $p=a(1-e^{2})=b^{2}/a$. Kết hợp $p=h^{2}/GM$ với $p=b^{2}/a$ cho $h^{2}=\dfrac{GMb^{2}}{a}$, nên $h = \sqrt{\dfrac{GMb^{2}}{a}} = b\sqrt{\dfrac{GM}{a}}$.

Thay biểu thức này của $h$ vào $\pi ab=\tfrac{h}{2}T$ và giải ra $T$: $T=\dfrac{2\pi ab}{h}=\dfrac{2\pi ab}{b\sqrt{GM/a}}=2\pi a\sqrt{\dfrac{a}{GM}}=2\pi\sqrt{\dfrac{a^{3}}{GM}}$. Bình phương hai vế cho $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}a^{3}$, chính là định luật ba Kepler — và đúng với mọi elip bất kể $e$, vì $e$ đã triệt tiêu hoàn toàn. $\blacksquare$