Bảo toàn vectơ Laplace–Runge–Lenz

Đạo hàm: $\dfrac{d\mathbf A}{dt} = \ddot{\mathbf r}\times\mathbf h + \dot{\mathbf r}\times\dot{\mathbf h} - GM\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt}$. Vì $\mathbf h$ không đổi (Định lý 1), số hạng giữa triệt tiêu. Dùng $\ddot{\mathbf r}=-\dfrac{GM}{r^{2}}\hat{\mathbf r}$ và $\mathbf h=\mathbf r\times\dot{\mathbf r}$, đồng nhất thức tích ba vectơ $\hat{\mathbf r}\times(\mathbf r\times\dot{\mathbf r}) = \mathbf r(\hat{\mathbf r}\cdot\dot{\mathbf r}) - \dot{\mathbf r}(\hat{\mathbf r}\cdot\mathbf r)$ cho $\ddot{\mathbf r}\times\mathbf h = -\dfrac{GM}{r^{2}}\big[r\dot r\,\hat{\mathbf r} - r\dot{\mathbf r}\big] = GM\left(\dfrac{\dot{\mathbf r}}{r} - \dfrac{\dot r}{r}\hat{\mathbf r}\right)$, với $\dot r=\hat{\mathbf r}\cdot\dot{\mathbf r}$ là tốc độ thay đổi vô hướng của khoảng cách $r$ (đã dùng $\hat{\mathbf r}\cdot\mathbf r=r$).

Mặt khác, đạo hàm trực tiếp $\hat{\mathbf r}=\mathbf r/r$ cho $\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt} = \dfrac{\dot{\mathbf r}}{r} - \dfrac{\mathbf r\,\dot r}{r^{2}} = \dfrac{\dot{\mathbf r}}{r} - \dfrac{\dot r}{r}\hat{\mathbf r}$ — đúng bằng biểu thức trong ngoặc tìm được cho $\ddot{\mathbf r}\times\mathbf h/GM$ ở trên. Vậy $\ddot{\mathbf r}\times\mathbf h = GM\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt}$ một cách đồng nhất.

Do đó $\dfrac{d\mathbf A}{dt} = GM\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt} - GM\dfrac{d\hat{\mathbf r}}{dt} = \mathbf 0$, chứng minh $\mathbf A$ không đổi. Tính $\mathbf A$ tại cận điểm, nơi $\dot{\mathbf r}$ hoàn toàn tiếp tuyến (vuông góc $\hat{\mathbf r}$) với tốc độ $v_p=h/r_p$, cho $\dot{\mathbf r}\times\mathbf h$ hướng dọc $-\hat{\mathbf r}$ với độ lớn $h^{2}/r_p$, nên $\mathbf A = \left(\dfrac{h^{2}}{r_p}-GM\right)\hat{\mathbf r}$; dùng $r_p=p/(1+e)=\dfrac{h^{2}}{GM(1+e)}$ từ phương trình quỹ đạo cho $\mathbf A = GMe\,\hat{\mathbf r}_p$, xác nhận $|\mathbf A|=GMe$ hướng đúng về cận điểm. $\blacksquare$