Định lý cơ sở Hilbert

Bước 1 (ideal hệ số dẫn đầu). Cho $I \subseteq R[x]$ là một ideal. Với mỗi bậc $n \ge 0$, gọi $L_n$ là tập các hệ số dẫn đầu của các phần tử bậc $n$ trong $I$, cùng với $0$. Nhân một đa thức bậc $n$ với $x$ cho thấy $L_n \subseteq L_{n+1}$, và mỗi $L_n$ là một ideal của $R$ (tính đóng với phép cộng và hấp thụ bội của $R$ suy trực tiếp từ việc $I$ là một ideal).

Bước 2 (dùng tính Noether của $R$ hai lần). Dây chuyền $L_0 \subseteq L_1 \subseteq L_2 \subseteq \cdots$ dừng tại một $L_N$ nào đó theo ACC. Vì $R$ Noether, mỗi $L_0,\ldots,L_N$ sinh hữu hạn; chọn hữu hạn phần tử sinh của mỗi $L_n$ ($n=0,\ldots,N$) và, với mỗi phần tử sinh, một đa thức $f_{n,i} \in I$ bậc $n$ đạt phần tử sinh đó làm hệ số dẫn đầu. Điều này cho một danh sách hữu hạn duy nhất $\{f_{n,i}\}$.

Bước 3 (rút gọn bằng quy nạp theo bậc). Ta khẳng định $I$ sinh bởi danh sách hữu hạn này. Lấy bất kỳ $f \in I$ bậc $d$; ta quy nạp theo $d$. Nếu $d \le N$, hệ số dẫn đầu của $f$ nằm trong $L_d$, nên nó là tổ hợp $R$ của các hệ số dẫn đầu của $f_{d,i}$; trừ đi tổ hợp $R$ tương ứng của $f_{d,i}$ khỏi $f$ triệt tiêu số hạng bậc $d$, tạo ra một phần tử của $I$ có bậc nhỏ hơn thực sự, và ta quy nạp tiếp. Nếu $d > N$, hệ số dẫn đầu của $f$ nằm trong $L_d = L_N$, nên nó là tổ hợp $R$ của các hệ số dẫn đầu của $f_{N,i}$; trừ đi tổ hợp tương ứng của $x^{\,d-N} f_{N,i}$ lại triệt tiêu số hạng dẫn đầu và hạ bậc thực sự.

Bước 4 (kết luận). Lặp lại Bước 3 cuối cùng cho đa thức không, nên $f$ là tổ hợp $R[x]$ của danh sách hữu hạn $\{f_{n,i}\}$. Vậy mọi ideal của $R[x]$ sinh hữu hạn, tức $R[x]$ Noether. Áp dụng điều này quy nạp $n$ lần bắt đầu từ vành Noether $k$ cho thấy $k[x_1,\ldots,x_n] = k[x_1][x_2]\cdots[x_n]$ Noether.