Giao hoán tử của hai vectơ tiếp xúc lại là một vectơ tiếp xúc

Bước 1 (thiết lập). Cho $X \in \mathfrak{g}$, $Y \in \mathfrak{g}$ đến từ các đường cong $\alpha(t), \beta(t) \in G$ với $\alpha(0)=\beta(0)=I$, $\alpha'(0)=X$, $\beta'(0)=Y$; tới bậc nhất $\alpha(t) \approx I + tX$ và $\beta(t) \approx I + tY$.

Bước 2 (đường cong giao hoán tử). Đặt $\gamma(t) = e^{tX} e^{tY} e^{-tX} e^{-tY}$, đường này nằm trong $G$ vì $G$ là một nhóm và $\gamma(0) = I$. Khai triển mỗi thừa số tới bậc hai theo $t$ (dùng $e^{sZ} \approx I + sZ + \tfrac12 s^2 Z^2$) rồi nhân ra cho $\gamma(t) = e^{tX} e^{tY} e^{-tX} e^{-tY} = I + t^2[X,Y] + O(t^3)$; các số hạng tuyến tính theo $t$ triệt tiêu hoàn toàn vì đây là giao hoán tử $g h g^{-1} h^{-1}$, để lại số hạng bậc hai dẫn đầu bằng $XY - YX$.

Bước 3 (trích xuất vectơ tiếp xúc). Tham số hóa lại bằng $s = t^2$ và đặt $\sigma(s) = \gamma(\sqrt{s})$ với $s \ge 0$; đây là đường cong trơn trong $G$ với $\sigma(0) = I$ và $\sigma'(0) = [X,Y]$ theo Bước 2. Vì $\sigma$ là đường cong đi qua phần tử đơn vị của $G$, vectơ vận tốc $[X,Y]$ của nó nằm trong $T_e G = \mathfrak{g}$ theo định nghĩa không gian tiếp xúc. Vậy $[X,Y] \in \mathfrak{g}$.

Bước 4 (đồng nhất thức Jacobi). Khai triển đại số trực tiếp $[X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] = 0$ dùng $[X,Y] = XY - YX$ cho thấy mỗi số hạng dạng $XYZ$ xuất hiện đúng hai lần với dấu ngược nhau và triệt tiêu, nên đồng nhất thức đúng tự động với mọi tích ma trận kết hợp — không cần thêm dữ liệu hình học nào khi ngoặc là $XY-YX$. Cùng với tính song tuyến và phản đối xứng $[X,Y]=-[Y,X]$ (suy ra ngay từ công thức), điều này xác nhận $(\mathfrak{g}, [\cdot,\cdot])$ là một đại số Lie.