Định lý Cantor–Bernstein–Schröder

Gọi $f : A \to B$ và $g : B \to A$ là hai đơn ánh đã cho. Ý tưởng là truy vết, với mỗi phần tử, chuỗi tổ tiên thu được bằng cách lần lượt gỡ ngược $f$ và $g$, rồi xây song ánh cuối cùng từng phần tùy theo mỗi chuỗi "bắt đầu" ở đâu.

Với $a \in A$, định nghĩa chuỗi lùi $a, g^{-1}(a), f^{-1}(g^{-1}(a)), \ldots$, tiếp tục miễn là nghịch đảo cần dùng còn xác định, và tương tự với $b \in B$. Chuỗi của mỗi phần tử hoặc lùi mãi mãi, hoặc dừng ở một phần tử của $A$ không có tiền ảnh qua $g$, hoặc dừng ở một phần tử của $B$ không có tiền ảnh qua $f$. Điều này chia $A$ thành ba phần $A_A$ (chuỗi dừng ở $A$), $A_B$ (chuỗi dừng ở $B$), $A_\infty$ (chuỗi không bao giờ dừng), và tương tự chia $B$ thành $B_A, B_B, B_\infty$.

Trên các chuỗi dừng ở $A$ hoặc không bao giờ dừng, chính $f$ đã cho một song ánh từ phần đó của $A$ lên phần tương ứng của $B$ (vì các phần tử này đạt được qua đơn ánh và không có gì "hết" ở phía $B$ trước). Trên các chuỗi dừng ở $B$, chính $g$ cho một song ánh từ phần tương ứng của $B$ ngược về phần đó của $A$, nên nghịch đảo $g^{-1}$ của nó cho một song ánh từ phần đó của $A$ lên phần đó của $B$.

Định nghĩa $h : A \to B$ bởi $h(a) = f(a)$ nếu $a \in A_A \cup A_\infty$, và $h(a) = g^{-1}(a)$ nếu $a \in A_B$. Vì ba phần rời nhau và mỗi phần ánh xạ song ánh lên phần khớp của $B$ ($f$ lên $B_A \cup B_\infty$, $g^{-1}$ lên $B_B$), ánh xạ gộp $h$ là một song ánh từ toàn bộ $A$ lên toàn bộ $B$, chứng minh $|A|=|B|$.