Định lý cơ bản của lý thuyết Galois

Bước 1 (Bổ đề Artin cho $L^{\mathrm{Gal}(L/F)}=F$). Đặt $F$ là trường trung gian, $H=\mathrm{Gal}(L/F)$. Rõ ràng $F\subseteq L^H$ vì mọi $\sigma\in H$ cố định $F$ theo định nghĩa. Chiều ngược lại dùng định lý Artin: nếu $H$ là một nhóm hữu hạn các tự đẳng cấu của $L$ thì $[L:L^H]=|H|$; điều này suy từ bổ đề Dedekind rằng các tự đẳng cấu trường khác nhau độc lập tuyến tính như các hàm $L\to L$, buộc $[L:L^H]\ge|H|$. Vì $L/F$ là Galois, $[L:F]=|\mathrm{Gal}(L/F)|=|H|$, kết hợp với $F\subseteq L^H$, $[L:L^H]=|H|=[L:F]$ suy ra $F=L^H$.

Bước 2 (hai ánh xạ là nghịch đảo của nhau). Với nhóm con $H\le G$ bất kỳ, đặt $F=L^H$; cần chứng minh $\mathrm{Gal}(L/F)=H$. Theo định nghĩa $H\subseteq\mathrm{Gal}(L/F)$ (mọi phần tử của $H$ cố định $L^H=F$). Áp dụng định lý Artin cho $H$: $[L:F]=[L:L^H]=|H|$. Áp dụng lần nữa cho $\mathrm{Gal}(L/F)$ (luôn hợp lệ vì $L/F$ tự động là Galois): $|\mathrm{Gal}(L/F)|=[L:F]=|H|$. Vì $H\subseteq\mathrm{Gal}(L/F)$ và cả hai cùng cỡ hữu hạn $|H|$, suy ra $H=\mathrm{Gal}(L/F)$.

Bước 3 (đảo thứ tự bao hàm). Trực tiếp từ định nghĩa trường bất biến, $H_1\subseteq H_2\Rightarrow L^{H_1}\supseteq L^{H_2}$, nên song ánh đảo ngược bao hàm theo cả hai chiều.

Bước 4 (công thức bậc). Đã có $[L:F]=|\mathrm{Gal}(L/F)|=|H|$. Từ công thức tháp bậc $[L:K]=[L:F][F:K]$ và $[L:K]=|G|$, suy ra $[F:K]=|G|/|H|=[G:H]$.

Bước 5 (nhóm con chuẩn tắc ứng với mở rộng con Galois). Với $\sigma\in G$, kiểm tra trực tiếp $\sigma(L^H)=L^{\sigma H\sigma^{-1}}$: thật vậy $x\in L^H\iff\forall h\in H,\ hx=x\iff\forall h\in H,\ (\sigma h\sigma^{-1})(\sigma x)=\sigma x\iff \sigma x\in L^{\sigma H\sigma^{-1}}$. Vậy $F=L^H$ ổn định dưới mọi $\sigma\in G$ (chính là điều kiện chuẩn tắc khiến $F/K$ là Galois, vì $F$ sinh bởi nghiệm của các đa thức trên $K$ mà $G$ tác động bắc cầu) khi và chỉ khi $\sigma H\sigma^{-1}=H$ với mọi $\sigma$, tức $H\trianglelefteq G$. Khi đó ánh xạ hạn chế $\sigma\mapsto\sigma|_F$ cho một toàn cấu $G\to\mathrm{Gal}(F/K)$ với hạt nhân đúng bằng $H$, nên $\mathrm{Gal}(F/K)\cong G/H$ theo định lý đẳng cấu thứ nhất.