Đồng dư là quan hệ tương đương tương thích với $+$ và $\times$

Phản xạ: $a-a=0$ và $m\mid 0$ với mọi $m$, nên $a\equiv a\pmod m$.

Đối xứng: nếu $a\equiv b\pmod m$ thì $a-b=mk$ với một số nguyên $k$ nào đó, suy ra $b-a=m(-k)$; vì $-k$ cũng là số nguyên nên $m\mid(b-a)$, tức $b\equiv a\pmod m$.

Bắc cầu: nếu $a\equiv b\pmod m$ và $b\equiv c\pmod m$, viết $a-b=mk_1$ và $b-c=mk_2$. Cộng hai đẳng thức: $a-c=(a-b)+(b-c)=m(k_1+k_2)$, nên $m\mid(a-c)$ và $a\equiv c\pmod m$.

Tương thích với phép cộng: từ $a-b=mk_1$ và $c-d=mk_2$, cộng hai phương trình: $(a+c)-(b+d) = m(k_1+k_2)$, là một bội của $m$, nên $a+c\equiv b+d\pmod m$.

Tương thích với phép nhân: viết $ac-bd = ac-bc+bc-bd = c(a-b)+b(c-d) = c\cdot mk_1 + b\cdot mk_2 = m(ck_1+bk_2)$. Đây lại là một bội của $m$, nên $ac\equiv bd\pmod m$. Kết hợp (i)-(iii) làm cho đồng dư trở thành quan hệ tương đương, và hai bước cuối cho thấy mọi phép toán vành trên $\mathbb{Z}$ đều chuyển xuống thành phép toán xác định tốt trên các lớp thặng dư $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$.