Định lý Eckart–Young–Mirsky

Đạt được chặn. Vì $U, V$ có các cột trực chuẩn, $\|A - A_k\|_2 = \|U(\Sigma - \Sigma_k)V^\top\|_2 = \|\Sigma - \Sigma_k\|_2$, trong đó $\Sigma_k$ giữ $k$ giá trị kỳ dị đầu và đặt phần còn lại bằng 0. $\Sigma - \Sigma_k$ là ma trận đường chéo với các phần tử $0, \dots, 0, \sigma_{k+1}, \dots, \sigma_r$, nên chuẩn toán tử của nó là phần tử lớn nhất, $\sigma_{k+1}$.

Tính tối ưu. Cho $B$ là ma trận bất kỳ với $\operatorname{rank}(B) \le k$; không gian không (hạt nhân) của nó có số chiều ít nhất $n - k$. Đặt $S = \operatorname{span}(v_1, \dots, v_{k+1})$, một không gian con $(k+1)$ chiều. Vì $\dim(\ker B) + \dim(S) \ge (n-k) + (k+1) = n+1 > n$, hai không gian con này phải giao nhau nhiều hơn chỉ gốc tọa độ: tồn tại vector đơn vị $z \in S$ với $Bz = 0$.

Viết $z = \sum_{i=1}^{k+1} c_i v_i$ với $\sum_{i=1}^{k+1} c_i^2 = 1$ (vì $z$ có chuẩn đơn vị và các $v_i$ trực chuẩn). Vì $Bz = 0$, $\|(A-B)z\| = \|Az\| = \left\|\sum_{i=1}^{k+1} c_i \sigma_i u_i\right\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{k+1} c_i^2 \sigma_i^2}$, dùng tính trực chuẩn của các $u_i$.

Vì $\sigma_i \ge \sigma_{k+1}$ với mọi $i \le k+1$, $\sum_{i=1}^{k+1} c_i^2 \sigma_i^2 \ge \sigma_{k+1}^2 \sum_{i=1}^{k+1} c_i^2 = \sigma_{k+1}^2$. Do đó $\|A-B\|_2 \ge \|(A-B)z\| \ge \sigma_{k+1}$ với mọi ma trận hạng $\le k$ là $B$, cùng với việc chặn đạt được, điều này chứng minh định lý.