Chặn sai số toàn cục của phương pháp Euler

Viết sai số cục bộ mắc phải trong một bước là hiệu giữa nghiệm chính xác khai triển bằng chuỗi Taylor và bước cập nhật Euler. Định lý Taylor cho $y(t_{n+1}) = y(t_n) + h f(t_n, y(t_n)) + \frac{h^2}{2} y''(\xi_n)$ với $\xi_n$ nào đó nằm giữa $t_n$ và $t_{n+1}$, nên sai số cắt cụt cục bộ là $\tau_n = \frac{h^2}{2} y''(\xi_n)$, bị chặn bởi $\frac{h^2 M}{2}$ nhờ giả thiết $|y''(t) | \le M$.

Trừ bước cập nhật Euler $y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n)$ khỏi khai triển Taylor chính xác này. Viết $e_n = y(t_n) - y_n$, hiệu của hai vế phải cho $e_{n+1} = e_n + h\left[f(t_n, y(t_n)) - f(t_n, y_n)\right] + \tau_n$. Điều kiện Lipschitz chặn số hạng trong ngoặc vuông bởi $L|e_n|$, nên $|e_{n+1}| \le (1+hL)|e_n| + \frac{h^2 M}{2}$.

Vì $e_0 = 0$ (giá trị ban đầu là chính xác), khai triển đệ quy này bằng quy nạp cho $|e_n| \le \frac{h^2M}{2}\sum_{k=0}^{n-1}(1+hL)^k = \frac{hM}{2L}\left[(1+hL)^n - 1\right]$, dùng đẳng thức chuỗi hình học. Cuối cùng, $(1+hL)^n \le e^{Lhn} = e^{L(t_n-t_0)}$ vì $1+x\le e^x$ với mọi số thực $x$, biến chặn trên thành $|e_n| \le \frac{hM}{2L}\left(e^{L(t_n-t_0)}-1\right)$ — đúng là bất đẳng thức cần chứng minh, và rõ ràng là $O(h)$ khi $t_n$ cố định.