Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên nhị thức

Viết $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$, trong đó $X_i$ bằng $1$ nếu phép thử thứ $i$ thành công và bằng $0$ nếu không. Mỗi $X_i$ là một biến ngẫu nhiên Bernoulli với $P(X_i=1)=p$ và $P(X_i=0)=1-p$, nên kỳ vọng của nó là $E[X_i] = 1\cdot p + 0\cdot(1-p) = p$.

Kỳ vọng có tính tuyến tính với mọi biến ngẫu nhiên, dù chúng có độc lập hay không: $E[X_1+X_2+\cdots+X_n] = E[X_1]+E[X_2]+\cdots+E[X_n]$. Tính tuyến tính này suy ra trực tiếp từ định nghĩa kỳ vọng như một tổng có trọng số, vì các tổng và tổng có trọng số luôn có thể sắp xếp lại.

Áp dụng tính tuyến tính cho $X = X_1+\cdots+X_n$ ta được $E[X] = E[X_1]+\cdots+E[X_n] = \underbrace{p+p+\cdots+p}_{n \text{ times}} = np$, đúng như công thức đã nêu.