Định lý Faltings (giả thuyết Mordell)

Bước 1 (từ đường cong sang đa tạp aben). Gắn cho $C$ đa tạp Jacobi $J$ của nó, một đa tạp aben chiều $g$ chứa $C$ (qua phép nhúng Abel–Jacobi, một khi đã cố định một điểm hữu tỉ). Một điểm hữu tỉ của $C$ ứng với một điểm hữu tỉ của $J$, và cấu trúc Parshin (1968) biến một dãy vô hạn giả định các điểm hữu tỉ phân biệt trên $C$ thành vô hạn đa tạp aben chiều $g$ đôi một không đẳng cấu, xác định trên $\mathbb{Q}$, đều có khử tốt ngoài một tập hữu hạn số nguyên tố cố định $S$ chỉ phụ thuộc $C$.

Bước 2 (giả thuyết hữu hạn Shafarevich). Shafarevich giả thuyết rằng với $g$ và tập hữu hạn $S$ cố định, chỉ có hữu hạn lớp đẳng cấu đa tạp aben phân cực chính chiều $g$ trên $\mathbb{Q}$ có khử tốt ngoài $S$. Faltings chứng minh điều này bằng lý thuyết Arakelov: ông dựng một hàm độ cao trên không gian moduli các đa tạp aben đó (độ cao Faltings), chỉ ra độ cao này biến đổi có kiểm soát qua đẳng giống, rồi chặn nó bằng tính hữu hạn của các mở rộng trường số không rẽ nhánh ngoài $S$ cùng các ước lượng từ lý thuyết độ cao và khử ổn định. Độ cao bị chặn trong không gian moduli chiều cố định buộc phải hữu hạn.

Bước 3 (mâu thuẫn khép lại lập luận). Bước 1 tạo ra vô hạn đa tạp aben không đẳng cấu dưới giả định sai rằng $C$ có vô hạn điểm hữu tỉ; Bước 2 cho thấy chỉ có hữu hạn đa tạp aben như vậy tồn tại. Mâu thuẫn này chỉ tránh được nếu giả định ban đầu sai, vậy $C$ chỉ có hữu hạn điểm hữu tỉ: $|C(\mathbb{Q})| < \infty$.