Định lýĐã chứng minh

Định lý cơ bản của giải tích

Phát biểu

Cho $f$ liên tục trên $[a,b]$ . (i) Nếu $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ , thì $F$ khả vi trên $[a,b]$ và $F'(x)=f(x)$ . (ii) Nếu $G$ là một nguyên hàm bất kỳ của $f$ trên $[a,b]$ , thì $\int_a^b f(x)\,dx = G(b)-G(a)$ .

Vì sao đúng?

Đạo hàm và tích phân là hai phép toán ngược nhau: tốc độ tức thời mà diện tích tích luỹ dưới đường cong tăng lên, khi ta quét cạnh phải về phía trước, chính bằng độ cao của đường cong tại cạnh đó.

Phác thảo chứng minh

(i) Với $h>0$ nhỏ, $F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+h} f(t)\,dt$ ; theo định lý giá trị trung bình cho tích phân, biểu thức này bằng $h\cdot f(\xi_h)$ với một $\xi_h$ nào đó giữa $x$ và $x+h$ , nên $\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(\xi_h)\to f(x)$ khi $h\to 0$ do tính liên tục của $f$ . (ii) Theo (i), $G-F$ có đạo hàm bằng không trên $[a,b]$ , nên $G-F$ là hàm hằng; tính $G(b)-F(b)=G(a)-F(a)$ và dùng $F(a)=0$ , $F(b)=\int_a^b f$ ta được $\int_a^b f(x)\,dx=G(b)-G(a)$ .

Người phát biểu

Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz

Người chứng minh

chứng minh năm 1823Augustin-Louis Cauchy

Chủ đề chứa định lý này

Tích phân

Định lý liên quan

Định lý giá trị trung bình (Lagrange)Định lý Stokes

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Augustin-Louis Cauchy (1823). Résumé des leçons données à l'École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal
C. H. Edwards (1979). The Historical Development of the Calculus