Nhóm Galois tác động bắc cầu trên các nghiệm

Bước 1: Vì $f$ bất khả quy trên $K$ và $r_1,r_2\in R\subset L$ đều là nghiệm, tồn tại một $K$-đẳng cấu $\varphi:K(r_1)\to K(r_2)$ với $\varphi(r_1)=r_2$, $\varphi|_K=\mathrm{id}_K$ — tính chất cơ bản của đa thức tối tiểu: $K(r_1)\cong K[x]/(f)\cong K(r_2)$ qua đẳng cấu gửi $r_1\mapsto x\mapsto r_2$.

Bước 2: $L$ là trường phân rã của $f$ trên cả $K(r_1)$ lẫn $K(r_2)$ (vì $L$ là trường phân rã trên $K$, và $K\subseteq K(r_i)\subseteq L$). Theo định lý mở rộng đẳng cấu cho trường phân rã, $\varphi$ mở rộng thành một đẳng cấu trường $\sigma:L\to L$.

Bước 3: Vì $\sigma|_K=\varphi|_K=\mathrm{id}_K$, ta có $\sigma\in\mathrm{Gal}(L/K)$, và $\sigma(r_1)=\varphi(r_1)=r_2$. Vậy với hai nghiệm bất kỳ $r_1,r_2$ luôn tồn tại $\sigma$ đưa nghiệm này sang nghiệm kia — chính là định nghĩa tác động bắc cầu.