Sự hội tụ và chặn sai số của phương pháp chia đôi

Bước 1 (bất biến). Đặt $a_0=a$, $b_0=b$. Ở bước $n$, ta duy trì bất biến rằng $f(a_n)f(b_n)<0$, tức nghiệm bị nhốt ở đâu đó trong $[a_n,b_n]$. Điều này đúng ban đầu theo giả thiết. Từ $[a_n,b_n]$, tính điểm giữa $x_n=\dfrac{a_n+b_n}{2}$ và tính $f(x_n)$: nếu nó trái dấu với $f(a_n)$ thì đặt $a_{n+1}=a_n,\ b_{n+1}=x_n$, ngược lại đặt $a_{n+1}=x_n,\ b_{n+1}=b_n$ (nếu $f(x_n)=0$ đúng bằng 0, thì $x_n$ chính là nghiệm và quá trình dừng lại). Dù thế nào thì $f(a_{n+1})f(b_{n+1})<0$ lại đúng, nên bất biến được bảo toàn bằng quy nạp.

Bước 2 (chiều rộng co lại). Theo cách xây dựng, mỗi khoảng mới đúng bằng một nửa khoảng trước, nên $b_n-a_n = \dfrac{b-a}{2^n}$ với mọi $n \ge 0$. Vì nghiệm $r$ nằm trong $[a_n,b_n]$ ở mọi bước (theo Bước 1), và điểm giữa $x_n$ cũng nằm trong $[a_n,b_n]$, cả hai cùng nằm trong một khoảng có chiều rộng $\dfrac{b-a}{2^n}$ so với nhau, nên $|x_n - r| \le \dfrac{b-a}{2^n}$ đã đúng; một cách đếm chặt hơn một chút (đo từ điểm giữa tới một trong hai đầu mút) cho chặn đã nêu $|x_n - r| \le \dfrac{b-a}{2^{n+1}}$.

Bước 3 (hội tụ). Vì $\dfrac{b-a}{2^{n+1}} \to 0$ khi $n\to\infty$, phép kẹp ở Bước 2 buộc $x_n \to r$. Phần này thậm chí không cần tính liên tục của $f$ ngoài điều kiện đổi dấu ban đầu — nó chỉ cần cho việc đảm bảo có một nghiệm tồn tại bên trong $[a,b]$ ngay từ đầu, đó là định lý giá trị trung gian áp dụng ở bước 0.