Cho g:[a,b]→[a,b] khả vi liên tục với ∣g′(x)∣≤L<1 với mọi x∈[a,b]. Khi đó g có một điểm bất động duy nhất r trong [a,b], và với mọi điểm xuất phát x0∈[a,b], phép lặp xn+1=g(xn) hội tụ về r với ∣xn−r∣≤Ln∣x0−r∣.
Vì sao đúng?
Hệ số góc nhỏ hơn một về giá trị tuyệt đối nghĩa là mỗi lần áp dụng g đều ép các điểm lại gần nhau hơn, nên dù bắt đầu ở đâu, việc ép lặp đi lặp lại phải làm cả khoảng thu lại thành một điểm duy nhất.
Phác thảo chứng minh
Bước 1 (tồn tại nhờ định lý giá trị trung gian). Đặt h(x)=g(x)−x. Vì g(a)∈[a,b] nên g(a)≥a tức h(a)≥0, tương tự g(b)≤b cho h(b)≤0. Vì h liên tục, định lý giá trị trung gian cho một r nào đó với h(r)=0, tức g(r)=r: tồn tại một điểm bất động.
Bước 2 (duy nhất nhờ định lý giá trị trung bình). Giả sử r1,r2∈[a,b] đều là điểm bất động với r1=r2. Định lý giá trị trung bình cho một c nào đó nằm giữa chúng với g(r1)−g(r2)=g′(c)(r1−r2); vì g(r1)=r1 và g(r2)=r2, điều này viết thành r1−r2=g′(c)(r1−r2), nên ∣r1−r2∣=∣g′(c)∣∣r1−r2∣≤L∣r1−r2∣. Vì L<1 và ∣r1−r2∣>0, đây là một mâu thuẫn, nên r1=r2.
Bước 3 (co lại ở mỗi bước). Với bất kỳ xn∈[a,b] nào, áp dụng định lý giá trị trung bình cho g(xn)−g(r): có một cn nào đó nằm giữa xn và r với g(xn)−g(r)=g′(cn)(xn−r). Vì g(r)=r và xn+1=g(xn), vế trái là xn+1−r, nên ∣xn+1−r∣=∣g′(cn)∣∣xn−r∣≤L∣xn−r∣.
Bước 4 (lặp lại sự co). Áp dụng Bước 3 nhiều lần từ n=0 cho ∣x1−r∣≤L∣x0−r∣, rồi ∣x2−r∣≤L∣x1−r∣≤L2∣x0−r∣, và bằng quy nạp ∣xn−r∣≤Ln∣x0−r∣ với mọi n. Vì 0≤L<1, vế phải tiến về 0 khi n→∞, chứng minh xn→r.