Định lý mở rộng Hahn–Banach

Trước hết mở rộng thêm một chiều. Chọn $x_0\notin Y$ và đặt $Y_1=Y\oplus\mathbb{R}x_0$. Ta cần chọn giá trị $c=\Phi(x_0)$ sao cho $|\varphi(y)+tc|\le M\|y+tx_0\|$ với mọi $y\in Y,t\in\mathbb{R}$; chia cho $t\ne0$ và thay $y/t\to y$, điều này quy về việc cần $c$ với $\varphi(y)-M\|y-x_0\|\le c\le M\|y+x_0\|-\varphi(y)$ với mọi $y\in Y$. Dùng $\varphi(y_1)-\varphi(y_2)=\varphi(y_1-y_2)\le M\|y_1-y_2\|\le M\|y_1+x_0\|+M\|y_2-x_0\|$, ta kiểm tra được cận trên đúng của các biểu thức bên trái theo $y_1$ không bao giờ vượt cận dưới đúng của các biểu thức bên phải theo $y_2$, nên tồn tại $c$ hợp lệ trong khoảng đó; điều này định nghĩa $\Phi$ trên $Y_1$ với cùng chặn $M$.

Tiếp theo, mở rộng lên toàn bộ $X$ bằng Bổ đề Zorn. Xét tập tất cả các cặp $(Z,\Psi)$ với $Z$ là không gian con thỏa $Y\subseteq Z\subseteq X$ và $\Psi$ mở rộng $\varphi$ lên $Z$ với chặn $M$, sắp thứ tự bộ phận bởi $(Z_1,\Psi_1)\le(Z_2,\Psi_2)$ khi $Z_1\subseteq Z_2$ và $\Psi_2|_{Z_1}=\Psi_1$. Mọi dây chuyền đều có cận trên (lấy hợp các không gian con và phiếm hàm khớp với từng cái trên miền của nó), nên Bổ đề Zorn cho một phần tử cực đại $(Z^*,\Phi)$.

Cuối cùng, nếu $Z^*\ne X$, bước mở rộng thêm một chiều ở trên áp dụng cho $Z^*$ và bất kỳ $x_0\in X\setminus Z^*$ nào sẽ tạo ra một cặp hợp lệ lớn hơn thực sự, mâu thuẫn với tính cực đại của $(Z^*,\Phi)$. Vậy $Z^*=X$, và $\Phi$ là mở rộng bảo toàn chặn cần tìm lên toàn bộ $X$.