Định lý Gibbard–Satterthwaite

Phác thảo (quy về định lý Arrow). Trước tiên, một bổ đề đơn điệu: nếu phương án $a$ thắng ở một hồ sơ nào đó, và hồ sơ chỉ thay đổi bởi việc một số cử tri nâng $a$ lên cao hơn trong thứ tự riêng của họ (không sắp xếp lại các phương án khác theo cách khác), $a$ vẫn phải thắng. Nếu không, một cử tri có thứ tự thật là hồ sơ "trước" có thể báo cáo sai thành hồ sơ "sau" để đẩy $a$ từ thua sang thắng, hoặc ngược lại — dù theo cách nào cũng mâu thuẫn với tính chống thao túng đối với ai đó.

Tiếp theo, dùng hàm lựa chọn để xây một thứ tự xã hội suy ra cho mỗi hồ sơ: khẳng định $a$ trên $b$ trong thứ tự suy ra đúng khi $a$ vẫn thắng sau khi mọi phương án khác ngoài $a$ và $b$ bị xóa khỏi lá phiếu của mọi cử tri, chỉ còn lại một cuộc đua trực tiếp hai bên. Tính toàn ánh và tính chống thao túng của hàm lựa chọn gốc, cùng với bổ đề đơn điệu, có thể được dùng để kiểm tra rằng thứ tự suy ra này thỏa mãn Miền không hạn chế, Pareto yếu, và Độc lập với phương án không liên quan với tư cách một hàm phúc lợi xã hội.

Theo Định lý bất khả của Arrow, vì có ít nhất $3$ phương án, thứ tự xã hội suy ra này phải độc tài: thứ tự của một cử tri $i$ nào đó luôn bằng thứ tự xã hội suy ra.

Cuối cùng, kiểm tra rằng lựa chọn hàng đầu của chính cử tri $i$ này luôn là người thắng của hàm lựa chọn xã hội gốc: vì thứ tự suy ra đặt phương án yêu thích của $i$ trên mọi phương án khác, và thứ tự suy ra theo dõi ai thắng trong so sánh từng cặp, lựa chọn yêu thích của $i$ phải là người thắng chung ở mọi hồ sơ. Vậy hàm lựa chọn xã hội chống thao túng, toàn ánh ban đầu bị chi phối bởi cử tri $i$.