Phân tích thành phân thức đơn giản cho công thức Binet

Phân tích mẫu số: vì các nghiệm của $1-x-x^2=0$ là $x=1/\varphi$ và $x=1/\psi$, ta có $1-x-x^2=(1-\varphi x)(1-\psi x)$.

Viết $\frac{x}{1-x-x^2}=\frac{A}{1-\varphi x}+\frac{B}{1-\psi x}$ với hằng số $A,B$. Quy đồng mẫu số và so khớp số hạng tự do cùng hệ số của $x$ ta được một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm $A=\frac{1}{\sqrt5}$, $B=-\frac{1}{\sqrt5}$, do đó $\frac{x}{1-x-x^2}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1}{1-\varphi x}-\frac{1}{1-\psi x}\right)$.

Khai triển mỗi số hạng thành chuỗi cấp số nhân: $\frac{1}{1-\varphi x}=\sum_{n\ge0}\varphi^nx^n$ và $\frac{1}{1-\psi x}=\sum_{n\ge0}\psi^nx^n$.

Lấy hệ số của $x^n$ ở hai vế ta được $F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\varphi^n-\psi^n\right)$, gọi là công thức Binet.