Trường hợp elip chính là mô hình Klein của hình học hyperbolic

Dọc theo một đường kính. Lấy $x=0$ và $y=(r,0,\dots,0)$ với $0<r<1$. Đường thẳng qua chúng cắt $\partial\mathbb{B}$ tại $a=(-1,0,\dots,0)$ và $b=(1,0,\dots,0)$, nên $|ay|=1+r$, $|ax|=1$, $|bx|=1$, $|by|=1-r$, cho $d_{\mathbb{B}}(0,y)=\frac12\ln\frac{1+r}{1-r}=\operatorname{artanh}(r)$. Điều này khớp chính xác với công thức chuẩn cho khoảng cách hyperbolic từ tâm tới một điểm ở bán kính Euclid $r$ trong mô hình Beltrami–Klein có độ cong $-1$.

Ngoài một đường kính. Với $x,y\in\mathbb{B}$ bất kỳ, chọn một phép quay $R\in O(n)$ (một đẳng cự của hình cầu tròn cố định $0$) đưa đường thẳng qua $x,y$ về một trục tọa độ; vì $R$ bảo toàn $\mathbb{B}$ và đưa bốn điểm $a,x,y,b$ tới một bộ bốn khác có cùng tỉ số kép, nên $d_{\mathbb{B}}(x,y)=d_{\mathbb{B}}(Rx,Ry)$, quy về trường hợp đường kính đã tính ở trên sau khi cũng tịnh tiến một điểm về $0$ nhờ một đẳng cự hyperbolic của $\mathbb{B}$ (một phép biến đổi Möbius bảo toàn $\mathbb{B}$, phép này cũng bảo toàn tỉ số kép). Vì công thức thu được theo cách này chính xác là công thức khoảng cách Beltrami–Klein, nên $(\mathbb{B},d_{\mathbb{B}})$ đẳng cự với không gian hyperbolic $n$-chiều.

Ellipsoid tổng quát. Cho $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ là một ánh xạ tuyến tính (hoặc affine) khả nghịch với $T(\mathbb{B})=E$. Một ánh xạ affine là một phép biến đổi xạ ảnh của $\mathbb{RP}^n$ giữ nguyên siêu phẳng ở vô cực, và tỉ số kép của các điểm thẳng hàng bất biến qua mọi phép biến đổi xạ ảnh; vì $T$ đưa đường thẳng qua $x,y\in\mathbb{B}$ tới đường thẳng qua $Tx,Ty\in E$, và đưa cặp biên $a,b$ tới cặp biên $Ta,Tb$ của $E$, nên nó đưa bộ bốn xác định tới bộ bốn xác định, do đó $[a,x,y,b]=[Ta,Tx,Ty,Tb]$ và vì vậy $d_E(Tx,Ty)=d_{\mathbb{B}}(x,y)$ với mọi $x,y$. Vậy $T:(\mathbb{B},d_{\mathbb{B}})\to(E,d_E)$ là một đẳng cự, nên $(E,d_E)$ lại là không gian hyperbolic $n$-chiều.